Principe du maximum
Bonjour
je viens de lire une preuve qui me laisse perplexe.
Il s'agit de prouver qu'une fonction modulaire (ou forme de poids nulle), holomorphe et holomorphe à l'infini (au sens : pas d'indice négatif dans son développement en série q) est constante.
Je précise que l'auteur définit les fonctions modulaires comme étant méromorphes dans ${\Bbb H}$ et méromorphes aux pointes.
Il procède comme suit.
Comme $f(\tau)=\sum a_nq^n$ est holomorphe à l'infini $\lim f(\tau)$ existe lorsque $\Im(\tau)$ tend vers $+\infty$ (si j'ai bien compris cette limite vaut même $a_0$). L'auteur prouve ensuite que $f(\Bbb{H}\cup\{\infty\})$ est compact puis affirme
"D'après le principe du maximum cela entraîne que $f$ est constante."
Or si ma mémoire est bonne le principe du maximum ne s'applique qu'à des domaines bornés. Alors même si je me ramène à la bande fondamentale $\{\tau\mid|\Re(\tau)|\leq1/2,\ \Im(\tau)>1/2\}$ ça reste non borné.
J'ai peut-être une idée du pourquoi mais je trouve un peu gonflé de balancer ça comme ça.
Quelqu'un peut-il m'expliquer ?
Merci.
je viens de lire une preuve qui me laisse perplexe.
Il s'agit de prouver qu'une fonction modulaire (ou forme de poids nulle), holomorphe et holomorphe à l'infini (au sens : pas d'indice négatif dans son développement en série q) est constante.
Je précise que l'auteur définit les fonctions modulaires comme étant méromorphes dans ${\Bbb H}$ et méromorphes aux pointes.
Il procède comme suit.
Comme $f(\tau)=\sum a_nq^n$ est holomorphe à l'infini $\lim f(\tau)$ existe lorsque $\Im(\tau)$ tend vers $+\infty$ (si j'ai bien compris cette limite vaut même $a_0$). L'auteur prouve ensuite que $f(\Bbb{H}\cup\{\infty\})$ est compact puis affirme
"D'après le principe du maximum cela entraîne que $f$ est constante."
Or si ma mémoire est bonne le principe du maximum ne s'applique qu'à des domaines bornés. Alors même si je me ramène à la bande fondamentale $\{\tau\mid|\Re(\tau)|\leq1/2,\ \Im(\tau)>1/2\}$ ça reste non borné.
J'ai peut-être une idée du pourquoi mais je trouve un peu gonflé de balancer ça comme ça.
Quelqu'un peut-il m'expliquer ?
Merci.
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Réponses
Si par celui-ci tu entends qu'une fonction holomorphe d'un ouvert de C n'a pas de maximum local sauf si elle est constante alors cela implique ton résultat, puisque la fonction est constante autour d'un petit ouvert biholomophe à un ouvert de C où le max est atteint et donc constante tout court (si la source est connexe) par exemple par unicité du prolongement analytique.
en fait je considérais $f(z)=\sum a_nz^n$ sachant que $z\mapsto e^{2\pi z}$ envoie ${\Bbb H}\cup\infty$ sur le disque ouvert ce qui est presque pareil.
Mais je ne comprends toujours pas l'argument de Noname. Que le sup soit atteint nous sommes bien d'accord mais en $\infty$ je ne suis plus dans un ouvert du tout !
Quelque chose m'échappe (c'est vrai que mes fonctions holomorphes remontent à longtemps).
L'argument est totalement général et fonctionne pour une surface de Riemann compacte (et connexe) quelconque.
Si $X$ est une surface de Riemann compacte, et $f$ est holomorphe sur $X$, alors par compacité il existe $x$ qui maximise $|f|$ et donc $x$ a un petit voisinage biholomorphe à un ouvert de $\mathbb{C}$ donc $f$ est constante sur cet ouvert, et comme $X$ est connexe, par unicité du prolongement analytique $f$ est constante.