Fonctions convexes et différentiabilité

Bonjour
J'ai deux questions assez simples sur les fonctions convexes.

Soit $E\subseteq\R^d$ un ensemble convexe, $x_0\in E$ et $f:E\to\R$ une fonction convexe sur $E$. Je définis le cône tangent de $E$ en $x_0$ comme l'ensemble $T(E,x_0)$ de toutes les directions dans lesquelles je peux me déplacer dans $E$ depuis $x_0$, i.e., $T(E,x_0)=\{u\in\R^d\mid \exists t>0,\ x_0+tu\in E\}$ (dans certains ouvrages, le cône tangent est défini comme l'adhérence de $T(E,x_0)$). Je donne aussi deux définitions sur lesquelles j'ai l'impression qu'il n'y a pas un consensus dans la littérature (au moins dans le cas où $x_0$ est un point du bord de $E$).

1. Disons que $f$ admet des dérivées partielles en $x_0$ si et seulement si pour tout $u\in T(E,x_0)$, $\frac{f(x_0+tu)-f(x_0)}{t}$ admet une limite (finie) lorsque $t\to 0$. Ici, on suppose que lorsque c'est possible (i.e., si $-u\in T(E,x_0)$), $t$ tend vers zéro sans contrainte de signe.

2. Disons que $f$ est différentiable en $x_0$ si et seulement s'il existe un vecteur $g$ tel que la fonction définie sur $E\setminus\{x_0\}$ par
$$\frac{f(x)-f(x_0)-g^\top(x-x_0)}{\|x-x_0\|},\quad \forall x\in E\setminus\{x_0\},
$$ tend vers zéro lorsque $x\to x_0$. Dans ce cas, il est facile de voir qu'il existe un unique tel vecteur $g$ qui se trouve dans le linéarisé de $E$ (i.e., $Vect(E-E)$). Notons alors ce vecteur $\nabla f(x_0)$.

Mes questions :
1. Si $f$ admet des dérivées partielles en $x_0$, est-elle nécessairement différentiable en $x_0$ ?
2. Si $f$ est différentiable en tout point de $E$, son gradient $\nabla f$ est-il continue sur tout $E$ ?

Les réponses sont positives dans l'intérieur de $E$, mais je m'intéresse au cas général, qui est souvent omis. Merci !