Méthodes suites et séries
Je tente une autre approche pour travailler l'analyse. Je ne sais pas si je vais finir les exercices dans l'autre fil... j'en ai déjà fait pas mal, et ils sont souvent un peu trop difficiles pour mon niveau actuel. Ou pour mon niveau de patience actuel.
J'ai l'impression que les cours que j'ai à disposition contiennent une bonne partie de ce qu'il faut savoir d'un point de vue théorique, mais pour ce qui est des méthodes pour la pratique, j'ai du mal à mettre en oeuvre la théorie. Alors je vais essayer de consolider ça, en commençant pas les suites/séries numériques. Je numérote les choses, j'éditerai le message pour ajouter les réponses dedans, pour plus de lisibilité.
Etant donné une suite $(u_n)_n$, la première chose qu'on vérifie, c'est si elle converge. Les méthodes que je connais :
- application directe de la définition, en supposant qu'on ait une idée de la limite
- opérations algébriques sur les limites, si la suite peut être reconstituée à partir de suites plus simples
- propriétés d'une fonction continue pour les suites $u_n = f(n)$
- théorème du point fixe pour les suites $u_{n+1} = f(u_n)$, typiquement avec $f$ dérivable
1) J'espère que c'est juste, mais je ne l'ai pas dans mes bouquins : si $u_n \sim v_n$, alors $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ ont le même comportement (convergence, divergence, aucune limite) et si l'une a une limite (finie ou infinie), l'autre a la même. Si c'est correct, j'essaierai de le démontrer.
a) Si $\displaystyle \lim v_n = L$ et $u_n \sim v_n$, alors $\lim u_n = L$.
[size=x-small]Soit $\epsilon > 0$. On a : $|u_n - L| = |(u_n - v_n) + (v_n - L)| \leqslant |u_n - v_n| + |v_n - L|$. Comme $\lim v_n = L$, il existe $N_1$ tel que pour tout $n \geqslant N_1$, $|v_n - L| \leqslant \epsilon$. Comme $u_n \sim v_n$, par définition, on a $(u_n - v_n) = o(v_n)$, donc il existe $N_2$ tel que $|u_n - v_n| \leqslant \epsilon |v_n|$ pour tout $n \geqslant N_2$. Donc $|u_n - L| \leqslant \epsilon(1+|v_n|)$ pour tout $n \geqslant \max(N_1,N_2)$. Comme $\lim v_n = L$, il existe $N_3$ tel que $|v_n| \leqslant \max(|L-1|,|L+1|)$ par exemple, pour tout $n \leqslant N_3$. Je n'écris pas les bidouilles de $\epsilon$, flemme. En tout cas ça marche.[/size]
b) Si $\displaystyle \lim v_n = \infty$ et $u_n \sim v_n$, alors $\lim u_n = \infty$.
[size=x-small]Pour celui-là, je n'ai pas encore trouvé la bidouille. Il faut sûrement encore utiliser l'inégalité triangulaire, mais dans l'autre sens... Si $u_n \sim v_n$, alors $(v_n - u_n) = o(u_n)$ en profitant de la symétrie de $\sim$. Donc pour $\epsilon > 0$ fixé, il existe $N$ tel que $|v_n - u_n| \leqslant \epsilon |u_n|$ pour tout $n \geqslant N$. $\epsilon |u_n| \geqslant |v_n - u_n| \geqslant ||v_n|-|u_n|| \geqslant |v_n| - |u_n|$, donc $(1+\epsilon)|u_n| \geqslant |v_n|$, donc $|u_n| \geqslant \dfrac{1}{1+\epsilon}|v_n|$. On conclut grâce à $\displaystyle \lim v_n = \infty$.[/size]
c) Le cas où $\displaystyle \lim v_n = -\infty$ et $u_n \sim v_n$ donne immédiatement que $\lim u_n = -\infty$ d'après le point b).
2) Ce que je ne sais pas, probablement parce que je ne comprends pas bien ces concepts, c'est si on peut obtenir une information sur la limite dans le cas $u_n = o(v_n)$ ou $u_n=O(v_n)$, en supposant le comportement de $(v_n)_n$ connu. Peut-on dire quelque chose ici ?
3) En supposant que la suite ait une limite (finie ou infinie), on peut se poser la question de la vitesse de convergence/divergence. Je n'ai jamais vraiment compris comment ça marche. En informatique, je crois qu'ils mesurent les complexités d'algorithmes avec des $O(...)$, donc j'imagine que c'est ça l'idée ? Si $u_n = O(v_n)$, alors $u_n$ croît/décroît/converge/diverge moins vite que $(v_n)_n$ ?
4) Si $u_n \sim v_n$, est-ce que ça veut dire que les suites convergent à la même vitesse ?
5) Je sais que beaucoup de ces choses sont beaucoup plus simples quand on a des suites du type $u_n=f(n)$, ce qui est rarement le cas. Je ne sais pas s'il y a beaucoup de méthodes/cas standard pour déterminer une expression explicite d'une suite définie par récurrence. Pour les suites arithmétiques et géométriques (et arithmético-géométriques...) oui, à part ça, je ne sais pas.
Commençons par ça, j'ajouterai d'autres questions après.
J'ai l'impression que les cours que j'ai à disposition contiennent une bonne partie de ce qu'il faut savoir d'un point de vue théorique, mais pour ce qui est des méthodes pour la pratique, j'ai du mal à mettre en oeuvre la théorie. Alors je vais essayer de consolider ça, en commençant pas les suites/séries numériques. Je numérote les choses, j'éditerai le message pour ajouter les réponses dedans, pour plus de lisibilité.
Etant donné une suite $(u_n)_n$, la première chose qu'on vérifie, c'est si elle converge. Les méthodes que je connais :
- application directe de la définition, en supposant qu'on ait une idée de la limite
- opérations algébriques sur les limites, si la suite peut être reconstituée à partir de suites plus simples
- propriétés d'une fonction continue pour les suites $u_n = f(n)$
- théorème du point fixe pour les suites $u_{n+1} = f(u_n)$, typiquement avec $f$ dérivable
1) J'espère que c'est juste, mais je ne l'ai pas dans mes bouquins : si $u_n \sim v_n$, alors $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ ont le même comportement (convergence, divergence, aucune limite) et si l'une a une limite (finie ou infinie), l'autre a la même. Si c'est correct, j'essaierai de le démontrer.
a) Si $\displaystyle \lim v_n = L$ et $u_n \sim v_n$, alors $\lim u_n = L$.
[size=x-small]Soit $\epsilon > 0$. On a : $|u_n - L| = |(u_n - v_n) + (v_n - L)| \leqslant |u_n - v_n| + |v_n - L|$. Comme $\lim v_n = L$, il existe $N_1$ tel que pour tout $n \geqslant N_1$, $|v_n - L| \leqslant \epsilon$. Comme $u_n \sim v_n$, par définition, on a $(u_n - v_n) = o(v_n)$, donc il existe $N_2$ tel que $|u_n - v_n| \leqslant \epsilon |v_n|$ pour tout $n \geqslant N_2$. Donc $|u_n - L| \leqslant \epsilon(1+|v_n|)$ pour tout $n \geqslant \max(N_1,N_2)$. Comme $\lim v_n = L$, il existe $N_3$ tel que $|v_n| \leqslant \max(|L-1|,|L+1|)$ par exemple, pour tout $n \leqslant N_3$. Je n'écris pas les bidouilles de $\epsilon$, flemme. En tout cas ça marche.[/size]
b) Si $\displaystyle \lim v_n = \infty$ et $u_n \sim v_n$, alors $\lim u_n = \infty$.
[size=x-small]Pour celui-là, je n'ai pas encore trouvé la bidouille. Il faut sûrement encore utiliser l'inégalité triangulaire, mais dans l'autre sens... Si $u_n \sim v_n$, alors $(v_n - u_n) = o(u_n)$ en profitant de la symétrie de $\sim$. Donc pour $\epsilon > 0$ fixé, il existe $N$ tel que $|v_n - u_n| \leqslant \epsilon |u_n|$ pour tout $n \geqslant N$. $\epsilon |u_n| \geqslant |v_n - u_n| \geqslant ||v_n|-|u_n|| \geqslant |v_n| - |u_n|$, donc $(1+\epsilon)|u_n| \geqslant |v_n|$, donc $|u_n| \geqslant \dfrac{1}{1+\epsilon}|v_n|$. On conclut grâce à $\displaystyle \lim v_n = \infty$.[/size]
c) Le cas où $\displaystyle \lim v_n = -\infty$ et $u_n \sim v_n$ donne immédiatement que $\lim u_n = -\infty$ d'après le point b).
2) Ce que je ne sais pas, probablement parce que je ne comprends pas bien ces concepts, c'est si on peut obtenir une information sur la limite dans le cas $u_n = o(v_n)$ ou $u_n=O(v_n)$, en supposant le comportement de $(v_n)_n$ connu. Peut-on dire quelque chose ici ?
3) En supposant que la suite ait une limite (finie ou infinie), on peut se poser la question de la vitesse de convergence/divergence. Je n'ai jamais vraiment compris comment ça marche. En informatique, je crois qu'ils mesurent les complexités d'algorithmes avec des $O(...)$, donc j'imagine que c'est ça l'idée ? Si $u_n = O(v_n)$, alors $u_n$ croît/décroît/converge/diverge moins vite que $(v_n)_n$ ?
4) Si $u_n \sim v_n$, est-ce que ça veut dire que les suites convergent à la même vitesse ?
5) Je sais que beaucoup de ces choses sont beaucoup plus simples quand on a des suites du type $u_n=f(n)$, ce qui est rarement le cas. Je ne sais pas s'il y a beaucoup de méthodes/cas standard pour déterminer une expression explicite d'une suite définie par récurrence. Pour les suites arithmétiques et géométriques (et arithmético-géométriques...) oui, à part ça, je ne sais pas.
Commençons par ça, j'ajouterai d'autres questions après.
Réponses
-
1) Correct.
2) Parfois oui, parfois non. Les deux notations veulent dire que $u_n$ est "plus petite" que $v_n$ (dans deux sens différents bien sûr). Donc si $v_n$ tend vers $0$, en particulier $u_n$ aussi dans les deux cas. Si $u_n = o(v_n)$ et $v_n$ est bornée alors $u_n$ tend vers $0$.
3) Dans l'idée oui.
4) Non. Si $u_n$ et $v_n$ sont équivalentes et convergent vers une limite non nulle alors l'équivalent n'apporte aucune information sur la vitesse de convergence. Ce qui est alors intéressant d'étudier est le comportement de $u_n - l$ et $v_n - l$ (où $l$ est la limite commune bien sûr). Par exemple "on voit bien" que $1 - \frac{1}{n}$ et $1 - e^{-n}$ ne convergent pas du tout à la même vitesse vers $1$ ! Par contre si les deux sont équivalentes et tendent vers l'infini ou $0$ alors oui on peut considérer qu'elles convergent à la même vitesse.
5) Il y a les suites homographiques qui sont également classiques. Sinon on peut imaginer tout un bestiaire à base de cas particuliers, mais je ne pense pas qu'il y ait de théorie générale. -
Bonjour.
Dans les classiques sur les suites, il y a les suites récurrentes linéaires et les suites arithmético-géométriques.
Cordialement. -
C'est vrai que j'ai oublié les suites homographiques et les suites récurrentes linéaires. Mais j'ai ça dans mes bouquins, donc ça va.
-
1) Oui.
2.a) Si $u = o(v)$ et $v$ est bornée, alors $u \to 0$.
2.b) Si $u= O(v)$ et $v \to 0$, alors $u \to 0$.
3) Oui.
4) Non, sauf si la limite est $0$.
5) C'est comme si tu demandais une méthode pour résoudre explicitement toute équation différentielle... En général on ne sait pas. Un cas facile classique qui inclut les suites géométriques est celui des relations de récurrence du type : $\forall n\in \N,\ u_{n+d} = \sum_{i=0}^{d-1} a_i u_{n+i}$ avec $d \in \N$ et $(a_0,\dots,a_{d-1}) \in \C^d$. On aura alors une expression explicite en fonction des racines du polynôme $X^d - \sum_{i=1}^{d-1} a_i X^i$ (en fait c'est juste de la réduction). On peut aussi enrichir en ajoutant un second membre à cette équation homogène, par exemple pour gérer les suites arithmétiques et arithmético-géométriques.
Pour aller plus loin, sans savoir expliciter la suite elle-même, on peut parfois simplifier agréablement sa série génératrice $\sum_n u_n z^n$ et en déduire des informations sur le comportement asymptotique de $u$. Bien sûr, d'autres transformations sont envisageables également. -
Dans certaines situations, l'usage de la transformée en z peut aider (comme la transformée de Laplace pour les fonctions).
Cordialement. -
J'essaie de démontrer les résultats précis du 1).
a) Si $\displaystyle \lim v_n = L$ et $u_n \sim v_n$, alors $\lim u_n = L$.
Soit $\epsilon > 0$. On a : $|u_n - L| = |(u_n - v_n) + (v_n - L)| \leqslant |u_n - v_n| + |v_n - L|$. Comme $\lim v_n = L$, il existe $N_1$ tel que pour tout $n \geqslant N_1$, $|v_n - L| \leqslant \epsilon$. Comme $u_n \sim v_n$, par définition, on a $(u_n - v_n) = o(v_n)$, donc il existe $N_2$ tel que $|u_n - v_n| \leqslant \epsilon |v_n|$ pour tout $n \geqslant N_2$.
Donc $|u_n - L| \leqslant \epsilon(1+|v_n|)$ pour tout $n \geqslant \max(N_1,N_2)$.
Comme $\lim v_n = L$, il existe $N_3$ tel que $|v_n| \leqslant \max(|L-1|,|L+1|)$ par exemple, pour tout $n \leqslant N_3$.
Je n'écris pas les bidouilles de $\epsilon$, flemme. En tout cas ça marche.
b) Si $\displaystyle \lim v_n = \infty$ et $u_n \sim v_n$, alors $\lim u_n = \infty$.
Pour celui-là, je n'ai pas encore trouvé la bidouille. Il faut sûrement encore utiliser l'inégalité triangulaire, mais dans l'autre sens...
Si $u_n \sim v_n$, alors $(v_n - u_n) = o(u_n)$ en profitant de la symétrie de $\sim$. Donc pour $\epsilon > 0$ fixé, il existe $N$ tel que $|v_n - u_n| \leqslant \epsilon |u_n|$ pour tout $n \geqslant N$.
$\epsilon |u_n| \geqslant |v_n - u_n| \geqslant ||v_n|-|u_n|| \geqslant |v_n| - |u_n|$, donc $(1+\epsilon)|u_n| \geqslant |v_n|$, donc $|u_n| \geqslant \dfrac{1}{1+\epsilon}|v_n|$. On conclut grâce à $\displaystyle \lim v_n = \infty$.
c) Le cas où $\displaystyle \lim v_n = -\infty$ et $u_n \sim v_n$ donne immédiatement que $\lim u_n = -\infty$ d'après le point b). -
Hm : Poirot et Siméon, vous ne dites pas la même chose pour le 2). Poirot suppose que $\dfrac{1}{v_n}$ soit bornée également. Je vais voir si je trouve si c'est effectivement nécessaire, ou pas.
EDIT : c'est inutile. Si $u_n = o(v_n)$, on a $|u_n| \leqslant \epsilon|v_n|$ à partir d'un certain rang, et si $|v_n|$ est borné par, disons, $M$, on a $|u_n| \leqslant M\epsilon$ à partir d'un certain rang, et donc $u_n$ tend vers $0$. -
En effet, j'imagine que Poirot a une définition différente de la négligeabilité. J'en profite pour te proposer celles-ci (tu peux montrer qu'elles sont équivalentes aux tiennes) qui évitent de revenir aux $\varepsilon/\delta$ à chaque démonstration.
Soient $u,v$ deux suites à valeurs dans $\C$. On dit que :- $u \sim v$ lorsqu'il existe une suite $w$ telle que $u = v\,w$ à partir d'un certain rang et $w \to 1$ ;
- $u = o(v)$ lorsqu'il existe une suite $w$ telle que $u = v\,w$ à partir d'un certain rang et $w \to 0$ ;
- $u = O(v)$ lorsqu'il existe un réel $M$ tel que $|u| \leqslant M|v|$ à partir d'un certain rang.
Edit : remarque de Calli. -
J'ai des propriétés similaires pour les $o,O,\sim$ de fonctions, j'aurais dû penser à chercher ce que ça donne pour des suites ! Merci :-D
-
Bonjour,
Siméon, je mettrais des "à partir d'un certain rang" pour les égalités et inégalités de suites dans ton dernier message. Sinon, on a plein d'emmer***, comme la non symétrie de la relation $\sim$ (${\bf 1}_{\Bbb N^*}\sim 1$ mais $1\not\sim {\bf 1}_{\Bbb N^*}$). -
En effet ! :-)
-
Oui mon hypothèse $1/v_n$ bornée est inutile, je ne sais pas à quoi je pensais.
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Bonjour!
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