"Aire" le long de courbe paramétrée et volume
Bonjour à tous
Je cherche à calculer l'aire le long d'une courbe paramétrée de l'espace lorsque x parcours l'intervalle [a;b] avec b supérieur à a.
J'ai déjà cherché à trouver la formule par moi-même mais je ne sais pas si elle est valide car je n'ai pas trouvé un théorème ou autre pour calculer cette aire là.
Quelqu'un pourrait donc proposer un théorème ou une formule ?
Je cherche à calculer l'aire le long d'une courbe paramétrée de l'espace lorsque x parcours l'intervalle [a;b] avec b supérieur à a.
J'ai déjà cherché à trouver la formule par moi-même mais je ne sais pas si elle est valide car je n'ai pas trouvé un théorème ou autre pour calculer cette aire là.
Quelqu'un pourrait donc proposer un théorème ou une formule ?
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Réponses
Mais qu’est-ce que « l’aire le long d’une courbe paramétrée »??
Pourrais-tu être plus clair, s’il te plaît?
Tant que tu ne définis pas clairement l'objet mathématique (*) dont tu veux calculer l'aire, tu parles dans le vide.
Cordialement.
(*) "entre le plan d'équation z=0 et la courbe paramétrée" n'est pas un objet mathématique
Je cherche à calculer l'aire sous la courbe paramétrée quand t parcours [a, b]
Tout ce passe dans un plan, en tout cas dans cet exemple.
On considère une courbe paramétrée $t\mapsto (x(t),y(t),z(t))$ avec $t\in [a,b]$. Cette courbe définit la surface paramétrée suivante : $u:[0,1]\times [a,b]\to \R^3, \; (s,t)\mapsto (x(t),y(t),s\cdot z(t))$.
Il s'agit de calculer l'aire de cette surface.
J'ai proposé la formule $\displaystyle \int_a^b z(t)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt$ pour le calcul de l'aire en me basant sur des séquelles de mes cours de physique donc je n'ai pas vérifié.
c'est simplement la surface ensemble des points des segments [Mm] où M est un point de la portion de courbe et m son projeté sur le plan.
Je reviens encore une fois vers vous après quelques recherches non concluantes, je cherche à calculer le volume entre le plan d'équation z=0 et une surface paramétrée de R^2 dans R^3, qui au couple (u,v) associe le triplet (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) lorsque u parcours l'intervalle [a,b] et v parcours [c,d], avec bien sûr, x, y et z toutes les trois continue et z positive sur le rectangle [a,b]×[c,d].
J'aimerais que vous me fournissiez un théorème ou une formule pour calculer ce volume.
Merci.
[Restons dans la discussion que tu as déjà ouverte. AD]
$$\displaystyle \int_a^b \int_c^d z(u,v)\cdot \left\lvert\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right\rvert dvdu.$$
Merci pour la réponse, malheureusement j'ai pas trouvé ça de mon côté, quel est le nom du théorème si il en a un ?
Si on note $V$ ton domaine d'intégration (celui sous la surface paramétrée) alors ton volume est donné par $\displaystyle{\iiint_V dxdydz }$.
On considère le changements de variables suivant :
$(u,v,w)\mapsto \begin{pmatrix}
x(u,v) \\
y(u,v) \\
w\cdot z(u,v)
\end{pmatrix}$
Le jacobien est donné par $\displaystyle \begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} &
\frac{\partial x}{\partial v} &
0 \\
\frac{\partial y}{\partial u} &
\frac{\partial y}{\partial v} &
0 \\
w\cdot \frac{\partial z}{\partial u} &
w\cdot \frac{\partial z}{\partial v} &
z(u,v)
\end{bmatrix}=z(u,v)\cdot \left\lvert\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right\rvert$
Donc par application de la formule du changement de variables (je suppose que tout est ok pour l'appliquer...),
$\displaystyle{\iiint_V dxdydz } = \int_a^b \int_c^d \int_0^1 z(u,v)\cdot \left\lvert\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right\rvert dwdvdu=\int_a^b \int_c^d z(u,v)\cdot \left\lvert\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right\rvert dvdu$
Pour une approche à la physicienne tu peux remarquer que l'élément de surface est donné par $\left\lvert\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right\rvert dvdu$ et par suite l'élément de volume est donnée par $dV= z(u,v)\cdot \left\lvert\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right\rvert dvdu$.
[$\LaTeX$ fournit les commandes \iint et \iiint pour les intégrales doubles et triples. ;-) AD]