"Aire" le long de courbe paramétrée et volume

Bonjour,

Mais qu’est-ce que « l’aire le long d’une courbe paramétrée »??

Pardon, mais je n’ai rien compris.
Pourrais-tu être plus clair, s’il te plaît?

Encore une fois, l'aire de quoi ? De quelle surface ?

Tant que tu ne définis pas clairement l'objet mathématique (*) dont tu veux calculer l'aire, tu parles dans le vide.

Cordialement.

(*) "entre le plan d'équation z=0 et la courbe paramétrée" n'est pas un objet mathématique

Ce n'est pas $\displaystyle \int_a^b z(t)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt$ ?

Je ne crois pas qu'il y ait un nom, en tout cas j'en connais pas. Mais c'est un cas particulier de surface réglée. Cela revient à calculer l'aire d'une surface réglée particulière.

Finalement,

c'est simplement la surface ensemble des points des segments [Mm] où M est un point de la portion de courbe et m son projeté sur le plan.

Ça devrait être ça :
$$\displaystyle \int_a^b \int_c^d z(u,v)\cdot \left\lvert\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right\rvert dvdu.$$

Tu retrouves cette formule par application directe de la formule de changement de variables dans les intégrales multiples.

Si on note $V$ ton domaine d'intégration (celui sous la surface paramétrée) alors ton volume est donné par $\displaystyle{\iiint_V dxdydz }$.
On considère le changements de variables suivant :
$(u,v,w)\mapsto \begin{pmatrix}
x(u,v) \\
y(u,v) \\
w\cdot z(u,v)
\end{pmatrix}$
Le jacobien est donné par $\displaystyle \begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} &
\frac{\partial x}{\partial v} &
0 \\
\frac{\partial y}{\partial u} &
\frac{\partial y}{\partial v} &
0 \\
w\cdot \frac{\partial z}{\partial u} &
w\cdot \frac{\partial z}{\partial v} &
z(u,v)
\end{bmatrix}=z(u,v)\cdot \left\lvert\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right\rvert$

Donc par application de la formule du changement de variables (je suppose que tout est ok pour l'appliquer...),

$\displaystyle{\iiint_V dxdydz } = \int_a^b \int_c^d \int_0^1 z(u,v)\cdot \left\lvert\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right\rvert dwdvdu=\int_a^b \int_c^d z(u,v)\cdot \left\lvert\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right\rvert dvdu$
Pour une approche à la physicienne tu peux remarquer que l'élément de surface est donné par $\left\lvert\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right\rvert dvdu$ et par suite l'élément de volume est donnée par $dV= z(u,v)\cdot \left\lvert\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right\rvert dvdu$.

[$\LaTeX$ fournit les commandes \iint et \iiint pour les intégrales doubles et triples. ;-) AD]