Question sur les normes des espaces Sobolev

Tu viens de définir toi-même cette norme...

Tu peux appeler $E = \big\{x \mapsto \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin( n \pi x) \mid \sum_{n=1}^{\infty} \big( \frac{b_{n}^{2}}{n^{4} \pi^{4}} \big) < +\infty\big\}$ et vérifier que $$|| \cdot ||_E : \left(x \mapsto \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin( n \pi x)\right) \longmapsto \left(\sum_{n=1}^{\infty} \Big( \frac{b_{n}^{2}}{n^{4} \pi^{4}} \Big)\right)^{1/2}$$ y définit bien une norme.

bd, as-tu réussi le calcul avec cette norme de $H^{-2}$?

Linalii
Comment as-tu démontré $$\begin{array}{lll}

\left\|\phi_{1}\right\|_{H^{-1}(0,1)}^{2} = \sum_{n=1}^{\infty} \Big( \frac{b_{n}^{2}}{n^{2}

\pi^{2}} \Big).

\end{array}

$$ @bd2017, je parle du calcul de la norme en utilisant la définition de la norme duale (le dual de $H^2_0(0,1)$ est $H^{-2}(0,1)$.

Bonjour
Je ne pense pas que pour répondre à la question qu'il soit nécessaire de passer par l'opérateur Laplacien:

Si on désigne par $e_n=\sqrt{2} \sin(n \pi .)$ la b.o.n de $L^2(0,1)$ et par $\phi = \sum_{n\geq 1 } b_n e_n$
un élément de $L^2(0,1)$ (espace qu'on identifie à son dual).
Supposons que $\sum_{n \geq 1} \frac{b_n^2}{n^2} <\infty$

pour tout $\psi \in H^1_0(0,1),$ ($\psi=\sum c_n e_n$)
on a :

$<\phi,\psi>_{L^2, L^2}= \sum_{n \geq 1} b_n c_n = \sum_{n \geq 1} (1/n b_n) (n c_n ) $
Alors

$|<\phi,\psi>_{L^2,L^2}|^2 \leq \sum_{n \geq 1} 1/n^2 b_n^2 \sum_{n \geq 1} n^2 c_n^2= (\sum_{n \geq 1} 1/n^2 b_n^2) ||\psi||^2_{H^1_0}$

Ce qui montre que $\psi \mapsto <\phi,\psi>_{L^2,L^2} $ définit un élément de $H^{-1}(0,1)$ et il n'est pas difficile de montrer que $||\psi||^2_{H^{-1}} = \sum_{n \geq 1} 1/n^2 b_n^2$ est une norme pour $H^{-1}(0,1)$ (il suffit de prendre correctement un suite $\psi_n$ qui soit une somme finie)