Valeurs propres du laplacien en dimension N>1

Bonsoir. J'ai une question s'il vous plaît.

On définit l'opérateur $A: \mathcal{D}(A) \subset \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}$ défini par $A \psi = -\Delta \psi$.
On sait que si on travaille sur le domaine $\Omega = [0,\pi]$ les vecteurs propres de $A$ sont la famille $\sin$, $(\sin(nx))_{n\in\N}$ et les valeurs propres associées sont $\ n^{2} ,\quad n\in \N$ !!
Maintenant ma question est la suivante. Si on travaille sur domaine $\Omega = [0, \pi]^N$ avec $N>1$, est-ce qu'on a encore les vecteurs propres et valeurs propres ou pas ? Sinon est-ce qu'on peut les déterminer explicitement ?