Prépondérance et domination de suites

Rietveld · June 2020

Bonjour,
je me pose une question qui doit peut-être être triviale, mais qui me bloque dans ma compréhension d'une démonstration.

Il s'agit de celle présentée dans cette vidéo :

L'auteur y réalise un développement asymptotique du terme général d'une série dont il étudie la convergence, et il y affirme qu'un $o(\frac{1}{n})$ est un $O(\frac{1}{n^{2}})$ ?
Pourquoi donc ?

Et enfin, en quoi ce $O(\frac{1}{n^{2}})$ permet de conclure, par comparaison, comme l'indique l'auteur, pour montrer que la série considérée est convergente ?
Le reste de la vidéo ne me pose pas de problème, c'est ce passage que je trouve un peu rapide.

Je vous remercie par avance.

O.G. · June 2020

Un $o(1/n)$ n'est pas en général un $O(1/n^2)$. Au début j'ai eu peur !
Mais ici, si tu fais le développement de Taylor un peu plus loin, tu obtiens effectivement un $O(1/n^2)$.

Avoir un $O(1/n^2)$ permet de conclure car une série $w_n$ telle que $|w_n|\leq C/n^2$ pour $n$ grand, est sommable.

Rietveld · June 2020

Donc c'est normal que je tourne en rond, car j'essayais désespérément de comprendre pourquoi l'auteur de la vidéo avait écrit cela.
Tu as donc répondu à mes interrogations. Mais dans la vidéo (si ces concepts sont un peu lointains dans notre esprit, on pourrait croire qu'il affirme ce que j'ai écrit ci-dessus, d'où mon désarroi et mon incapacité à démontrer cette implication, vue qu'elle n'a pas lieu d'être).

Pour la suite, je pense avoir compris, comme on s'est arrangé pour ce qui est devant le $o(\frac{1}{n})$ s'annule, il restera un terme en $\frac{C}{n^{2}}$, terme général d'une série convergente.

Je te remercie vivement pour ton aide.