Irrationnalité de pi inv. par permutations ?
Bonjour à tous !
Je me pose une question simple, et je ne sais pas si c'est un problème "réputé" ou si quelqu'un a déjà pu le démontrer, ou donner un contre-exemple.
On sait que $\pi$ est irrationnel, mais qu'en est-il si on remplace $p$ par $k$ et inversement dans les décimales de $\pi$, où $p$ et $k$ sont des naturels quelconques (mais différents, quand même...). Par exemple, est-ce que le nombre $\pi_{3,5}=5,1413926353...$ est irrationnel $((p,k)=(3,5))$ ?
(On peut faire des variantes : $k$ et $p$ sont compris entre $0$ et $9$, ou bien on remplace tous les $p$ par des $k$ mais pas l'inverse, etc...).
Ou bien existe-t-il simplement un couple $(p,k)$ dont on sait qu'il vérifie cette propriété ?
Je me pose une question simple, et je ne sais pas si c'est un problème "réputé" ou si quelqu'un a déjà pu le démontrer, ou donner un contre-exemple.
On sait que $\pi$ est irrationnel, mais qu'en est-il si on remplace $p$ par $k$ et inversement dans les décimales de $\pi$, où $p$ et $k$ sont des naturels quelconques (mais différents, quand même...). Par exemple, est-ce que le nombre $\pi_{3,5}=5,1413926353...$ est irrationnel $((p,k)=(3,5))$ ?
(On peut faire des variantes : $k$ et $p$ sont compris entre $0$ et $9$, ou bien on remplace tous les $p$ par des $k$ mais pas l'inverse, etc...).
Ou bien existe-t-il simplement un couple $(p,k)$ dont on sait qu'il vérifie cette propriété ?
Réponses
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L'irrationalité est une propriété asymptotique sur les chiffres, elle ne dépend pas d'une modification portant sur un nombre fini de chiffres. Autrement dit, si tu permutes deux chiffres de $\pi$ ou de n'importe quel nombre irrationnel, il reste irrationnel.
En effet, pour reprendre ton nombre $\pi'=5,1413926\dots$, on a : $\pi=\pi'-2+\frac2{10000}$.Si $\pi'$ était rationnel, $\pi$ le serait. Si on permute un nombre quelconque mais fini de chiffres, la différence entre $\pi$ et le nombre $\pi''$ obtenu est un nombre décimal, donc rationnel, et le même raisonnement s'applique. -
D'accord je vois, pour un nombre fini de permutations. Et si on permute tous les couples dans pi ? (donc une infinité de couples) les "..." signifiaient que je permutais "à l'infini". On a alors, si on veut prolonger ton raisonnement, $\pi=\pi'-S$ où $S$ est la somme d'une série de rationnels qui permet de "compenser" les écart avec $\pi$($p-k$ divisé par des puissances de 10). Sauf que la somme d'une série de rationnels n'est pas forcément rationnelle (la fameuse somme des inverses des carrés comme exemple)
Cependant, il est vrai qu'une somme d'inverse des puissances de $10$ semble être rationnelle, peut importe le support sur lequel on somme (peu importe les puissances que l'on met)... -
Deux exercices :
- en permutant les chiffres de $0,12121212\dots$ (qui est rationnel, c'est $12/99$ sauf erreur), on peut obtenir un nombre irrationnel ;
- en permutant les chiffres de $\pi$, on peut obtenir un nombre rationnel.
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Un nombre est rationnel si et seulement si il existe un rang à partir duquel la suite de ses décimales est periodique
Du coup, toute permutation "systématique" ne va pas changer le caractère rationnel ou non du nombre en question -
Je n'ai aucune idée de ce que tu veux dire par « "systématique" » (ni le sens ou le rôle des guillemets).
Voici une façon que j'appellerais systématique de produire un nombre irrationnel à partir de $0{,}121212\dots$ On a une infinité de $1$ et une infinité de $2$ à sa disposition. On commence par un chiffre 1, puis un chiffre 2, puis un 1, puis $4$ chiffres 2, puis un 1, puis $9$ chiffres 2, puis un 1, puis $16$ chiffres 2, etc. -
Je profite du fil pour ne pas en ouvrir un autre seulement pour cette question.
Je sais qu'on ne sait en gros rien pour résoudre les conjectures "truc est un nombre univers".
Mais par exemple dans le cas de $\pi$, est-ce qu'on est "au moins" capable de dire que tous les entiers de 0 à 9 apparaissent une infinité de fois dans son développement décimal ? La question de base m'y a fait penser.
Merci si quelqu'un possède une réponse. -
Quelques googles :
https://math.stackexchange.com/questions/1140980/its-possible-to-calculate-the-frequency-of-distribution-of-digits-of-pi
https://www.askamathematician.com/2009/11/since-pi-is-infinite-can-i-draw-any-random-number-sequence-and-be-certain-that-it-exists-somewhere-in-the-digits-of-pi/
Donc d'après l'internet : (i) on ne sait pas si $2$ apparaît une infinité de fois dans le développement décimal de $\pi$. De même pour $1,3,4,\dots,9,0$. (ii) les essais numériques suggèrent que non seulement les chiffres apparaissent une infinité de fois, mais ils sont équi-distribués. Cette conjecture est difficile. -
Merci de la réponse.
C'est fascinant de voir à quel point ce genre de questions simples à formuler semble vraiment poser problème rien que pour un commencement de résultat.
Hop hop hop les shtameurs !
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Bonjour!
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