Intégrale multiple

Bonjour,

Que trouves-tu pour $n=1$ ?

Bonjour,

On peut trouver une série généralisée.
On sort le $1/2$, puis on enlève la valeur absolue, puis on développe en série puis formule de Newton généralisée, puis inversion justifiée somme intégrale puis intégration.

Bonjour,

As-tu correctement scindé en deux le domaine d'intégration : une partie pour l'argument de la valeur absolue positive et l'autre partie pour négative ?

J'ai fait une erreur de calcul.

Mais si tu rajoutes l'autre partie, c'est mon idée de calcul. On a aussi la symétrie $x \leadsto 1-x$ du domaine d'intégration à exploiter (si ça apporte une simplification).

Autre idée : as-tu essayé un changement de variables ?

$\displaystyle u=x,\ v=x+y,\ w=x+y+z$ et $\displaystyle \iiint \ln|(x+y+z)/3-1/2| dxdydz = \int_0^1 du \int_{u}^2 dv \int_{u+v}^3 dw \ln|w/3-1/2|$ et l'intégrale se calcule bien même si c'est très pénible à cause des signes.

Bonjour
C'est indémerdable de cette façon. La restriction du domaine d'intégration à $\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k <n/2$ rend l'intégration impossible. Tu as dit que tu cherches un comportement asymptotique.

Essaie une autre idée : $\displaystyle I_n(a) = \int_{[0,1]^n} dx_1\cdots dx_n \ln\Big|\frac1n \sum_{k=1}^n x_k +a\Big|$,
dérive par rapport à $a$ (la valeur absolue saute), puis série, puis binôme généralisé. Puis intégration terme à terme par rapport à $a.$
Il faudra ensuite trouver $I_n(-1)$ qui a le bon goût de faire sauter la valeur absolue.
Cette idée, si elle aboutit, contourne le problème de la valeur absolue.

Eh, je ne chantais pas, moi ! Bon, pourquoi ne pas utiliser le théorème central limite, en remplaçant froidement $\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)-\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{\sqrt{12n}}Z$ avec $Z\sim N(0,1).$ Ça donnerait $I_n$ équivalent à $C-\frac{1}{2}\log (12n)$ avec $$C=\mathbb{E}(\log |Z|)=\frac{d}{ds}\left[\frac{2^{s/2}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(\frac{1}{2}(s+1))\right]_{s=0}.$$