Différence entre Lebesgue et Riemann ?

"La" différence, c'est vite dit... il y a beaucoup de choses qui changent. Elles ne sont pas du tout définies de la même manière : l'intégration au sens de Lebesgue utilise la théorie de la mesure et c'est nettement plus compliqué. Par contre, il y a beaucoup plus de fonctions qui sont Lebesgue-intégrables qu'il n'y a de fonctions Riemann-intégrables : la fonction indicatrice de $\Q$ par exemple.

Oui, c'est un début de début d'explication, mais en même temps, répondre "proprement" à une question pareille en plein oral, ça m'a l'air franchement difficile.

Moi je répondrais : la R integrale son but est d' intégrer une fonction bornée sur un segment . La L integrale son but est d'intégrer une fonction mesurable sur un espace mesuré . Qui dit mieux ?

Gérard, Pour recruter un cadre bancaire. Peut-on savoir ta réponse?

J'insisterais surtoût sur les problèmes de l'intégrale de Riemann (Si elle était si fantastique que cela, on n'aurait pas entendu parler de Lebesgue):

1) L'espace des fonctions Riemann-intégrable n'est pas complet, cela pose des problèmes par exemple pour les séries de Fourier.
2)Les limites de fonctions continues sans convergence uniforme
3)Le problème de la mesure: la condition d’additivité par réunion infinie dénombrable disjointe pour la mesure de Borel par rapport à la mesure de Jordan (on peut caractériser la Lebesgue-intégrabilité à l'aide de la mesure de Jordan) ne vérifiant que l'additivité disjointe finie.
Etc

Par contre, les théorémes généraux sur la differenciation (théoréme fondamental de l'analyse) sont costaud dans le cadre général.
Rudin en parle, Komornik aussi mais je ne m'ai jamais vu en cours...

C'était quoi ton oral, tu veux de la biblio?
Quel niveau?

Comme l'ont souligné certains plus haut, la réponse à une telle question nécessite d'avoir le niveau auquel on se place.

Toutefois, on pourra lire ce document de De Marçay qui détaille les points soulevés par axexe ci-dessus.

Linallili,

c'est normal que ta réponse n'ait pas convenu. Ils voulaient savoir ce que tu connais de l'intégration à ce niveau, tu as répondu par une explication pour lecteurs de Science & Vie !

Noix de toto,

je ne comprends pas ce que tu racontes, ni pourquoi tu parles du bac.

Cordialement.

@noix de totos : Ce n'était pas tout à fait ça (cf [Bac S Métropole 2019]).
Aucune question ne mettait en jeu une somme de variables aléatoires.

Edit : Ce n'est pas le bon sujet, cf ci-dessous !

noix de totos, tout va bien?

Je viens de lire ton dernier message. Ah c’était en 2018.. ok.
En toute rigueur, oui c’est vrai tu as raison.
Sinon pour l’histoire de la division de l’axe des ordonnées, c’est vrai qu’il faut prendre garde aux vulgarisations. Mais l’idée de « la division de l’axe des ordonnées » peut être formalisée de la manière suivante(qui fait en effet intervenir la mesure):
Si $f$ est une fonction définie sur $\R$ prend un nombre fini $n$ de valeurs $\{y_1, y_2, ..., y_n\}$, l’intégrale de Lebesgue de $f$ est « simplement »:
$\sum_{i=1}^n y_i \cdot \text{ mes } f^{-1}(\{y_i\}) $.
Pour que ce truc ait un sens, il faudrait donner un sens à $\text{ mes } f^{-1}(\{y_i\})$, et donc savoir si on peut et comment « mesurer » des ensembles méchants, et savoir ce qu’est « mesurer », et pouvoir retrouver que c’est « mesurer » pour les enfants quand on se restreint à des segments. Il faut aussi savoir pour quelles fonctions le truc $f^{-1}(\{y_i\})$ fera partie des ensembles mesurables selon la définition de « mesurable » qu’on aura donnée.
Il me semble que cette vulgarisation n’est pas trop mauvaise.

Je me suis sans doute mal exprimé :

je suis tombé sur ce bac S 2018 Liban où l'on demande aux élèves une espérance mathématiques d'une somme de deux lois à densité différentes.

Ils doivent répondre en utilisant la formule $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ mais, à leur niveau, il me semble qu'ils ne la connaissent que lorsque $X$ et $Y$ suivent deux lois discrètes, et elle est admise lorsqu'elles suivent deux lois continuent identiques (enfin, je crois, à confirmer toutefois).

Ainsi, un élève qui se pose des questions est en droit de se demander si cette formule persiste si $X$ et $Y$ suivent deux lois continues distinctes. Je ne suis pas probabiliste, mais, sans l'intégrale de Lebesgue, je ne sais pas répondre à cette question.

Vous, si ? En tout cas, je suis preneur d'une telle démonstration qui n'utilise pas l'intégrale de Lebesgue. Merci.

Mais $X+Y$, même si chacune a une espérance peut très bien ne pas avoir de densité, non? Et du coup, ce que dit noix de totos me paraît justifié. Comment le prouver avec la RI?

OK NdT.

Cela montre une fois de plus que les sujets des bacs "étranger" sont faits trop vite !!

D'autre part, la notion d'intégrale utile pour traiter ce problème est Lebesgue par facilité, mais pas Riemann, puisqu'on n'intègre pas sur un intervalle borné; cependant, il est possible que la notion d'intégrale généralisée (Riemann), ou celle d'intégrale de Stieltjes, puissent suffire, les deux densités ne posant pas de problème. Je ne le certifierais pas, je n'ai pas envie de me taper les calculs.

Cordialement.

@ linalili : la différence fondamentale entre l'intégrale de Lebesgue et celle de Riemann est dans la nature des fonctions intégrables. Une fonction f est Riemann intégrable si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité forment un ensemble de mesure nulle. C'est une condition très restrictive qui a beaucoup de conséquences en ce qui concerne l'inversibilite entre limites et intégrales par exemple.

Dans la théorie de Riemann on peut partir soit de la construction de Darboux, soit de la définition historique de l'intégrale de Riemann. Ces deux constructions sont équivalentes et conduisent à la même théorie.

L'intégrale de Lebesgue peut se construire de plusieurs façons. Une construction qui permet de mettre sous le même toit les différentes approches c'est l'intégrale de Daniell où on voit explicitement que c'est le choix d'une classe de fonctions particulières qui vont déterminer l'intégrale en question.
Pour Lebesgue on fait le choix de partir de fonctions caractéristiques d'ensembles mesurables. Une grosse partie de la théorie est alors dédiée à la construction de ces ensembles mesurables ce qui fait l'objet de la théorie de la mesure. Mais il faut bien comprendre qu'on n'est pas obligé de choisir ces fonctions pour développer la théorie de l'intégration de Lebesgue. C'est seulement un choix "naturel" pour les applications probabilistes. Mais on peut aussi développer une théorie de l'intégration en utilisant la familles de fonctions continues à support compact. Dans ce cas pas de mesure mais l'intégrale se construit sans aucun problème, par contre dans ce cas on a besoin de conditions topologiques qui sont absentes dans la construction standard de l'intégrale de Lebesgue. Cette deuxième approche est appelé aussi intégrale fonctionnelle ou intégrale à la Bourbaki. Mais c'est exactement l'intégrale de Lebesgue. Les deux approches sont équivalentes dès que l'on se restreint a certains types d'espaces, c'est le fameux théorème de Riesz.

Elles ont été supprimées du programme de spécialité mais il y en a dans l'option maths complémentaires.

Merci à Gai Requin pour l'info.

Gerard0 a écrit:

Cela montre une fois de plus que les sujets des bacs "étranger" sont faits trop vite !!

Ça montre surtout l'absurdité d'avoir mis ces lois à densité au programme du secondaire. Bon exemple de la charrue qui est mise (bien) avant les bœufs, comme je le disais plus haut.

Gerard0 a écrit:

il est possible que la notion d'intégrale généralisée (Riemann), ou celle d'intégrale de Stieltjes, puissent suffire

N'étant pas probabiliste comme je l'ai dit, je suis tout disposé à te croire, mais j'ai comme qui dirait un petit doute. Quoi qu'il en soit, cet exemple peut montrer l'intérêt et la motivation d'introduire une autre théorie de l'intégrale pour résoudre une question d'apparence simple.

C'était là l'objet de mon message ci-dessus, vis-à-vis de la question initiale.