Équation de Riccati
Réponses
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Bonjour,
Essaie le changement de fonction $b\leadsto y$ avec $b={y’\over y}.$ -
En faisant le changement de variables $b(t)= \dfrac{y'}{y}$, on arrive a l'équation d'ordre 2 homogène $y''=-f(t) y$. Il me semble qu'il n y a pas de méthode directe pour résoudre cette dernière équation. Que faire?
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Bonjour,
Rien. L’équation $y”+(a-2 q \cos(2x) )y=0$ est l’équation de Mathieu dont les solutions se trouvent dans les livres. Cette équation est utile en physique pour des cas de vibration, d’optique et même de relativité.
Dans ton cas, $a=0$ n’arrange pas vraiment la résolution. -
Donc la résolution de l'équation $b'(t)=-b^2(t)+f(t)$ où $f(t)= \cos(2 \pi t)$ n'est pas possible.
Dans ce cas j'ai une autre question: quel choix de $f(t)$ on peut prendre afin que la solution de cette équation soit calculable et qu'en même temps son graphe ne soit pas simple et nous dise des choses. -
Pour f nulle, cherche toutes les solutionsLe 😄 Farceur
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Non Gebrane le cas $f=0$ ne m’intéresse pas. $f$ ne doit pas être nul.
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essaie quand même ! dans le cas f =0 donne une solution non identiquement nulleLe 😄 Farceur
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Bonjour,
La résolution est possible puisque Mathieu l’a faite.
On sait résoudre beaucoup de telles équations avec $f$ linéaire, inverse, parabolique, exponentielle...
Tu dois connaître les fonctions de Bessel, non ?
Si oui, essaie $f(t)=-\exp(t)$.
Sinon, passe ton chemin : la plupart des solutions sont des fonctions spéciales pénibles... -
Pour $n$ entier naturel et $f=x\mapsto x^n$, la solution s’exprime sous forme d’intégrales de fonctions élémentaires(Liouville).
C’est à peu près tout, je crois... -
Peut-on résoudre cette équation différentielle en se servant des propriétés de la transformation de Laplace et des transformées de Laplace des fonctions usuelles ? Merci bien.
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Bonjour,
Laplace n’aide pas car la transformée du produit $f(t).y(t)$ ne donne rien de bon : il aurait fallu un produit de convolution. -
Bonjour
est-ce qu'il y a des seconds membres $f(t)$ pour lesquelles la solution de l'équation $b'(t)= -b^2(t)+ f(t)$ nous donne des solutions du genre $\sin$ ou $\cos$? Sans faire attention à la manière de résoudre, juste le résultat qui m'interesse pour le moment. Merci beaucoup d'avance. -
supp
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Side tu as tendance à compliquer pour une question très bête.
capu ! Si tu veux le sinus comme solution, tu calcules $\sin'(x)+\sin^2 (x) $ qui te donne le $f$ souhaité.Le 😄 Farceur -
supp
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Side, je parle pour sa dernière question ni plus ni moins.
Sache aussi que j'apprends beaucoup de méthodes de toi.Le 😄 Farceur -
Oui donc si $f(t)= \cos(t)-\sin^2(t)$ $f(t)= \cos(t)+\sin^2(t)$alors $b(t)= \sin(t)$ est une solution de l'équation!
Est-ce qu'il y a une écriture plus simple pour ce $f$?
Codialement -
Capu, ton f est faux. Je vois que tu ne fais que poser des questions à la chaîne sans y réfléchirLe 😄 Farceur
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c'était une erreur de signe "de frappe": je voulais dire $f(t)= \cos(t)+\sin^2(t)$!!!
Je ne pose pas de question sans réfléchir ... -
Bonjour,
Tu peux linéariser et obtenir du $\cos t, \cos 2 t$ ou alors obtenir un polynôme en $\cos t.$
Tu peux aussi essayer $b(t)={a\over 1+b t}$.
Ou encore : $b(t)={1\over t}-{1\over 1-t}$, qui donne $f(t)=\pm {2\over t(1-t)}.$
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Bonjour!
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