Convergence de la suite diagonale

Saturne · June 2020

Bonjour,

Les indices $k$ et $n$ sont des entiers naturels. Dans un espace métrique $(X,d)$, soient $x$, $x^{(k)}$, $x_n^{(k)}$ tels que
$d(x,x^{(k)}) \leqslant 2^{-k}$, $\lim_n x_n^{(k)} = x^{(k)}$, et $d(x_n^{(k)}, x_n^{(k+1)}) \leqslant 2^{-k+1}$. Pourquoi a-t-on $\lim_k x_k^{(k)} = x$ ?

Namiswan · June 2020

A moins que je ne me sois embrouillé, je n'ai pas l'impression que ce soit vrai

EDIT: j'ai peut être parlé trop vite, faut que j'y réfléchisse mieux.
EDIT 2: bon ben Corto a déjà mieux réfléchi pour moi.

Corto · June 2020

L'obstacle ici c'est surtout les notations à mon avis. On prend un $\varepsilon>0$ quelconque, on veut montrer que $d(x^k_k , x)\leq\varepsilon$ pour $k$ assez grand. On écrit alors, à l'aide de l'inégalité triangulaire,
\[
d(x^k_k , x) \leq \sum_{i=k}^N d(x^k_i,x^{k}_{i+1}) + d(x^{k}_{N+1}, x^k) + d(x^k,x)
\]
cette inégalité est alors valable pour tout $k$ et tout $N$. On commence par choisir $k$ assez grand pour que $d(x^k,x)\leq \varepsilon/3$ et $\sum_{i=k}^N d(x^k_i,x^{k}_{i+1})\leq \varepsilon/3$, il suffit alors de prendre $N$ assez grand pour que $d(x^{k}_{N+1}, x^k)\leq \varepsilon/3$ et le tour est joué.

EDIT : Il semblerait que ma démonstration ne marche pas, j'utilise $d(x^k_i,x^{k}_{i+1})\leq 2^{-i}$ alors que dans ton message saturne tu fais l'hypothèse $d(x^i_k,x^{i+1}_{k})\leq 2^{-i}$. Est-ce que tu es sûr des tes indices ?

O.G. · June 2020

Tous ces indices donnent des maux de tête. En permutant le rôle de $i$ et $k$ dans la réponse de Corto

$$
d(x_k^k,x)\leq \sum_{i=k_0}^{k-1} d(x_k^{i+1},x_k^{i})+d(x_k^{k_0},x^{k_0})+d(x^{k_0},x)
$$
on choisit d'abord $k_0$, puis $N_0$ (pour la suite $x_n^{k_0}$), puis $k\geq \max(k_0,N_0)$ et si je ne me suis pas trompé.

Saturne · June 2020

Merci à tous ! Oui ça marche @O.G.

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