Formule de d'Alembert, équation d'onde
dans Analyse
Bonjour s'il vous plait j'ai une question :
je sais calculer avec formule de d'Alembert la solution de l'équation d'onde suivante:
\begin{equation}u_{t t}- u_{x x}=0, \quad u(x, 0)=f(x), \quad u_{t}(x, 0)=g(x), \quad x \in (0,1) , \quad t \in \R^{+}\end{equation}
mais si j'ajoute les conditions aux bord Dirichlet je ne sais pas calculer la solution,
c'est quoi la solution par d'Alembert de:
\begin{equation}u_{t t}- u_{x x}=0, \quad u(x, 0)=f(x), \quad u_{t}(x, 0)=g(x), \quad u(0,t)=u(1,t)=0 , \quad x \in (0,1) \quad t \in \R^{+}\end{equation}
Merci d'avance.
je sais calculer avec formule de d'Alembert la solution de l'équation d'onde suivante:
\begin{equation}u_{t t}- u_{x x}=0, \quad u(x, 0)=f(x), \quad u_{t}(x, 0)=g(x), \quad x \in (0,1) , \quad t \in \R^{+}\end{equation}
mais si j'ajoute les conditions aux bord Dirichlet je ne sais pas calculer la solution,
c'est quoi la solution par d'Alembert de:
\begin{equation}u_{t t}- u_{x x}=0, \quad u(x, 0)=f(x), \quad u_{t}(x, 0)=g(x), \quad u(0,t)=u(1,t)=0 , \quad x \in (0,1) \quad t \in \R^{+}\end{equation}
Merci d'avance.
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Réponses
Je n'ai pas bien compris, est-ce que vous pouvez me citer une référence ou un exemple s'il vous plaît !
Merci.
vérifier $u(1,t) = 0$ !! pour la méthode qu'il a mentionné Héhéhé je pense que c'est la séparation des variables, tu peux le trouver facilement sur internet.
J'ai dit sauf erreur, ça fait longtemps que j'ai vu ce truc.
\begin{equation}u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[A_{n} \cos \left(n \pi t\right)+B_{n} \sin \left(n \pi t\right)\right] \sin \left(n \pi x\right)
\end{equation} Pour les données initiales suivantes: \begin{equation}
\begin{aligned}
u(x, 0) &=\sum_{n=1}^{N} A_{n} \sin \left(n \pi x\right) \\
u_{t}(x, 0) &=\sum_{n=0}^{N} B_{n} n \pi \sin \left(n \pi x\right)
\end{aligned}
\end{equation} Par séparation des variables c'est classique. Moi je cherche par d'Alembert, je n'arrive pas à trouver un exemple sur internet,
Je pense que ça n'existe même pas !!
Si par exemple on a l'équation suivante : $$
u_{t t}- u_{x x}=0, \quad u(x, 0)=u^{0}(x), \quad u_{t}(x, 0)=u^{1}(x), \quad x \in (0,1) , \quad t \in \R^{+}
$$ la solution classique par d'Alembert est la suivante. $$
u(x, t)=\frac{1}{2}(u^{0}(x+ t)+u^{0}(x- t))+\frac{1}{2 } \int_{x- t}^{x+ t} u^{1}(y) \mathrm{d} y .
$$ Maintenant, si j’ajoute les conditions Dirichlet $$
u(0,t)=u(1,t)=0,
$$ vraiment je suis bloqué je ne sais pas qui ce que je peux faire pour déterminer la solution qui vérifie ces conditions.
$\begin{equation}\frac{1}{2}(u^{0}( t)+u^{0}(- t))+\frac{1}{2 } \int_{- t}^{t} u^{1}(y) \mathrm{d} y=\frac{1}{2}(u^{0}(1+ t)+u^{0}(1- t))+\frac{1}{2 } \int_{1-t}^{1+ t} u^{1}(y) \mathrm{d} y\end{equation}=0$ ton problème admet une solution sinon les conditions de Dirichlet sont incompatibles avec ta solution)
Merci gebrane et Héhéhé
je pense qu'on ne peut pas déterminer la solution explicite dans ce cas en utilisant la formule de d'Alembert.
il faut utiliser séparation des variables.
Bon soirée
Le premier problème est bien posé : existence et unicité des solutions et la solution est donnée par la formule de D'Alembert.
Apres on ajoute d'autres conditions ( exemple Dirichlet), il y a deux cas:
la solution vérifie encore ces conditions
la solution est incompatible avec ces conditions
exemple classique résoudre -u''=1, u(0)=u'(0)=1 et u(2)=3. Je sais théoriquement que le problème -u''=1, u(0)=u'(0)=1 est bien posé: admet une solution unique. je trouve u et après je teste si ce u vérifie l’hypothèse ajoutée u(2)=3
Oui vous avez raison, mais d'une manière générale ce n'est pas nécessaire que la solution vérifie cette condition.
Ce qui fait on ne peut pas trouver une solution dans le cas général il faut ajouter cette condition pour la solution.
Merci.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]