Stricte convexité de transformée de Legendre
dans Analyse
Bonjour
Soit $d$ un entier positif.
Soit $L:\R^d \to \R$ une fonction dérivable, à dérivées continues.
On suppose que la transformée de Legendre-Fenchel $H:\R^d\to\R$ existe en tout $p\in\R^d$ et est définie par : $$
H(p) = \sup_{\alpha\in\R^d} p\cdot\alpha - L(\alpha).
$$ On suppose que pour tout $p\in\R^d$, il existe un unique $\alpha\in\R^d$ atteignant le maximum dans la définition de $H(p)$.
Peut-on conclure que $L$ est strictement convexe ?
Je ne suppose pas a priori que $L$ soit convexe. Avec un dessin, j'ai pu me convaincre que pour $d=1$ cela doit être vrai, je n'ai pas de certitude sur le cas $d>1$.
Merci.
Soit $d$ un entier positif.
Soit $L:\R^d \to \R$ une fonction dérivable, à dérivées continues.
On suppose que la transformée de Legendre-Fenchel $H:\R^d\to\R$ existe en tout $p\in\R^d$ et est définie par : $$
H(p) = \sup_{\alpha\in\R^d} p\cdot\alpha - L(\alpha).
$$ On suppose que pour tout $p\in\R^d$, il existe un unique $\alpha\in\R^d$ atteignant le maximum dans la définition de $H(p)$.
Peut-on conclure que $L$ est strictement convexe ?
Je ne suppose pas a priori que $L$ soit convexe. Avec un dessin, j'ai pu me convaincre que pour $d=1$ cela doit être vrai, je n'ai pas de certitude sur le cas $d>1$.
Merci.
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Réponses
Pour tout $p \in {\bf R}^d$, notons $\alpha_p$ l'unique $\alpha$ supposé réaliser la borne supérieure $$
H(p) = \sup\{ p\cdot\alpha - L(\alpha) : \alpha \in {\bf R}^d \}.
$$ Alors pour tout $p \in {\bf R}^d$ et $\alpha \in {\bf R}^d$, $$
p\cdot\alpha - L(\alpha) \le p\cdot\alpha_p - L(\alpha_p),
$$ autrement dit $$
p\cdot(\alpha-\alpha_p) + L(\alpha_p) \le L(\alpha),
$$ avec égalité si et seulement si $\alpha = \alpha_p$. Donc $$
L(\alpha) = \sup\{ p\cdot(\alpha-\alpha_p) + L(\alpha_p) : p \in {\bf R}^d \}.
$$ Cette égalité montre que la fonction est convexe comme enveloppe supérieure de fonctions affines.
Pour tout $\alpha \in {\bf R}^d$, la fonction $\beta \mapsto L(\beta) - \nabla L (\alpha) \cdot \beta$ est convexe et admet par construction un point critique en $\alpha$, donc elle admet un minimum en $\alpha$, qui est strict par hypothèse. Pour tout $\beta$ différent de $\alpha$, on a donc $L(\beta) > L(\alpha) + \nabla L (\alpha) \cdot (\beta-\alpha)$, ce qui entraîne la stricte convexité.
En effet, si $L$ strictement convexe, il existerait alors deux points distincts $\alpha,\beta$ et un réel $t_0 \in ]0,1[$ tels que $L((1-t_0)\alpha+t_0\beta) = (1-t_0)L(\alpha)+t_0L(\beta)$. En utilisant la convexité, on obtiendrait $$
\forall t \in [0,1],\quad L((1-t)\alpha+t\beta) = (1-t)L(\alpha)+tL(\beta).
$$ Par dérivation, on aurait $$
\forall t \in [0,1],\quad \nabla L ((1-t)\alpha+t\beta) \cdot (\beta-\alpha) = L(\beta) - L(\alpha),
$$ et en particulier $\nabla L (\alpha) \cdot (\beta-\alpha) = L(\beta) - L(\alpha)$, ce qui fournirait une contradiction.
Je vous remercie énormément d'avoir pris le temps d'y réfléchir et de m'avoir répondu.
Il me semble qu'il y a une imprécision dans votre raisonnement, la formule suivante : $$
L(\alpha) = \sup\{ p\cdot(\alpha-\alpha_p) +L(\alpha_p) : p \in {\bf R}^d \}.
$$ n'est bonne que si l'application $p\mapsto\alpha_p$ est surjective. Ce qui n'est pas forcément le cas a priori ici.
Sous cette hypothèse supplémentaire je suis entièrement d'accord avec la conclusion de votre preuve.
En fait, il est assez facile de montrer que $L$ satisfait une inégalité de stricte convexité en tout $\alpha=\alpha_p$ pour $p\in\R^d$. Cependant il faut alors montrer la surjectivité de la fonction ci-dessus.
On m'a envoyé cet après-midi une solution qui je pense résout le problème. N'ayant pas eu de réponses à ce message avant la votre, je n'avais pas pris le temps de l'écrire, la voici.
Dans ce qui suit, on note la transformée de Legendre par un indice $\star$, ainsi $H=L^*$.
L'enveloppe convexe $L^{**}$ de $L$ est continue (car $L$ est continue coercive) et a la même enveloppe convexe que $L$ car $L^{**}= H^*$ et donc $H=H^{**}= L^* = (L^{**})^*$.
Supposons que $L\neq L^{**}$. Alors par Carathéodory il existe $\alpha_i$ et $\lambda_i$ tels que $$
\sum_{i=1}^{d+1} \lambda_i \alpha_i:= \alpha
\ \text{ et }\ L(\alpha)> L^{**}(\alpha)=\sum_{i=1}^{d+1} \lambda_i L(\alpha_i).
$$ Soit $p$ un élément du sous-différentiel à $L^{**}$ en $\alpha$ (non vide car le domaine de $L^{**}$ est l'espace entier). Alors il est facile de voir que $\nabla L(\alpha_i)=p \in \partial L^{**}(\alpha_i)$ pour tout $i$ tq $\lambda_i\neq 0$. Donc, en utilisant la définition du sous-différentiel aux points $\alpha_i$, on a $H(p)= \alpha_ip-L(\alpha_i)$ pour tout $i$. Ce qui contredit l'hypothèse. Donc $L$ est convexe.
On conclut ensuite par la seconde partie de votre raisonnement.
En particulier, c'est $L^{**}$ qui satisfait l'équation que vous utilisiez et pas $L$. À la fin du raisonnement les deux sont égaux mais il ne me semble pas que vous l’ayez démontré.
Je vous prie de m'excuser de n'avoir pas publié cette solution plus tôt,
Bien à vous.
Pour une application non-convexe, sa bi-transformée est convexe, ce qui prouve que ce n'est pas une involution sur l'ensemble des fonctions admettant une transformée de Legendre.
En particulier, ici $L$ n'est pas supposée convexe a priori.
Il est notamment courant en optimisation non-convexe de remplacer le Lagrangian par sa bi-transformée de Legendre, qui est convexe. On a ensuite de meilleures propriétés sur l'existence et l'unicité des solutions.
Donc il y a quelque chose que je ne comprends pas
exemple th 1.13 http://www.math.univ-toulouse.fr/~rondep/CoursTD/poly4GMM_nondiff.pdf
Je sais bien que H = L* n'entraîne pas L = H* sans hypothèse sur L. Mais il se trouve j'ai démontré l'égalité L = H^* et la stricte convexité en me servant des hypothèses et sans supposer de surjectivité de l'application $p \mapsto \alpha_p$.
Christophe Leuridan
Pourtant vous écrivez :
Supposons qu'il n'existe aucun $p\in\R^d$ tel que $\alpha=\alpha_p$, ce que j'ai le droit de faire à cette étape de la preuve je pense. Alors le sup n'est pas atteint puisque le cas d'égalité n'arrive jamais. Puisque $L$ est coercive alors on peut réduire l'ensemble sur lequel on prend le sup à un compact, donc on observera une différence entre le sup et $L(\alpha)$, concrètement cela donne $$
L(\alpha) > \sup\{ p\cdot(\alpha-\alpha_p) +L(\alpha_p) : p \in {\bf R}^d \}.
$$ Peut-être que quelque chose m'échappe et qu'un tel argument à ce stade de la preuve n'est pas possible. Il ne le sera plus à la fin de la preuve bien sûr.
En dimension quelconque, pour que $f = f^{**}$ il faut que $f$ soit convexe et semi-continue inférieurement.
Sinon je crois que la définition de la transformée de Legendre-Fenchel, l'espace d'arrivée devrait être $\R\cup \{+\infty\}$.
Du moins, c'est la définition que je connais.
J'ai pu voir certaine définition en dimension finie où la transformée n'était définie en dimension finie que dans le cas de fonctions convexes et là l'espace d'arrivée était $\R$.
Je n'ai pas d'ouvrages avec moi là pour confirmer.