Un contre-exemple ?
Calli m'a proposé un exercice dans lequel on a :
Une fonction dérivable, dont la limite en $+\infty$ est finie, et il faut prouver (avec des hypothèses en plus) que la dérivée tend vers $0$ à l'infini.
L'exercice n'aurait pas de sens si toute fonction dérivable qui a une limite finie avait une dérivée qui tend vers $0$. Pourtant, quand on se représente le truc, ça a l'air d'être nécessaire : si la dérivée ne s'annule pas, les variations de la fonction de départ ne peuvent pas ralentir pour se stabiliser autour d'une valeur précise.
Donc je cherche un contre-exemple. Une fonction $f$, dérivable, telle que $\displaystyle \lim_{t \to \infty}f(t) = l$ finie mais $f'(t)$ ne tend pas vers $0$ à l'infini.
J'ai essayé d'y réfléchir un peu, je ne connais pas de contre-exemple "tout fait" par cœur, je n'en ai pas dans mon livre de contre-exemples, et je n'arrive pas à en bricoler un, je ne sais pas trop comment m'y prendre.
Une fonction dérivable, dont la limite en $+\infty$ est finie, et il faut prouver (avec des hypothèses en plus) que la dérivée tend vers $0$ à l'infini.
L'exercice n'aurait pas de sens si toute fonction dérivable qui a une limite finie avait une dérivée qui tend vers $0$. Pourtant, quand on se représente le truc, ça a l'air d'être nécessaire : si la dérivée ne s'annule pas, les variations de la fonction de départ ne peuvent pas ralentir pour se stabiliser autour d'une valeur précise.
Donc je cherche un contre-exemple. Une fonction $f$, dérivable, telle que $\displaystyle \lim_{t \to \infty}f(t) = l$ finie mais $f'(t)$ ne tend pas vers $0$ à l'infini.
J'ai essayé d'y réfléchir un peu, je ne connais pas de contre-exemple "tout fait" par cœur, je n'en ai pas dans mon livre de contre-exemples, et je n'arrive pas à en bricoler un, je ne sais pas trop comment m'y prendre.
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Réponses
Edit: Un peu trop lent...
Pour ma part, je n'ai pas de problème avec ça, car j'illustre une fonction qui a une limite finie à l'infini par une courbe qui globalement fini par se rapprocher d'une horizontale, mais qui fait ce qu'elle veut dans ce cadre (on a juste dit limite finie, rien sur les variations). Donc rien n'interdit qu'elle varie brutalement, voire ne se soit même pas continue, ou continue mais pas toujours dérivable (des tangentes verticales de temps à autre), ou tout ce qu'on veut.
Peut-être n'as-tu pas de telles images, à moins que tu aies des images trop particulières (limite finie = $\ell+\frac1 x$).
Cordialement
J'ai l'édition 2, je viens de vérifier:
Chapitre 9: Fonctions d'une variable réelle: dérivabilité
Section:Dérivées et limites
Ex: 9.18 page 172
(J'ai détaillé au cas où tu as la première édition, les pages ne sont peut-être pas les mêmes.)
Après, on peut chercher comment faire ça avec des fonctions simples, et les sinus arrivent très vite pour avoir des variations (on connaît la fonction $x\mapsto\frac{\sin(x)}x$).
Cordialement.
fonction décroissante sur $\R^+$, dérivable, avec $\lim\limits_\infty g(x)=0$ et $g'(x) $ n'a pas de limite en $+\infty$.