Parité de fonction
Bonjour
Je bloque sur la première étape de mon calcul de la fonction caractéristique d'une loi normale (centrée réduite). Je sais qu'il existe plusieurs méthodes pour ce résultat mais je souhaite faire celui par intégration par parties et équa diff.
Donc voilà je souhaite montrer que la fonction $x\mapsto f(x)=e^{itx-\frac{x^{2}}{2}},$ où $t \in \R$ est fixé est paire, mais je n'y arrive pas ...
Cela me semble facile mais je bloque donc je vous remercie par avance pour votre aide.
Par ailleurs je pourrais peut être prouver après que si l'on a une variable aléatoire paire (comme c'est le cas pour la normale) alors ce résultat est toujours vérifié ?
Bonne journée !
Je bloque sur la première étape de mon calcul de la fonction caractéristique d'une loi normale (centrée réduite). Je sais qu'il existe plusieurs méthodes pour ce résultat mais je souhaite faire celui par intégration par parties et équa diff.
Donc voilà je souhaite montrer que la fonction $x\mapsto f(x)=e^{itx-\frac{x^{2}}{2}},$ où $t \in \R$ est fixé est paire, mais je n'y arrive pas ...
Cela me semble facile mais je bloque donc je vous remercie par avance pour votre aide.
Par ailleurs je pourrais peut être prouver après que si l'on a une variable aléatoire paire (comme c'est le cas pour la normale) alors ce résultat est toujours vérifié ?
Bonne journée !
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Réponses
La fonction n’est pas paire puisque $f( x)-f(-x)\neq 0.$
Je pense que tu as mal lu ce qu'on te demande. C'est sans doute la fonction caractéristique dont on te demande de prouver qu'elle est paire.
Dans mon cours il est dit la chose suivante.
$f$ représente la fonction caractéristique d'une loi normale centrée réduite. Pour $t \in \R$ $$
f(t)=\frac{1}{\sqrt2\pi} \int_{\R}e^{\frac{-x^{2}}{2}}e^{itx}dx.
$$ ""Par un argument de parité, la partie imaginaire de $f$ est nulle"" Donc il remplace l'exp complexe par sa partie paire i.e. par le cosinus.
Je comprends le reste de la preuve mais toujours pas ce point ...
Tu ne vois pas pourquoi $$\int_{\R}^{}{e^{\frac{-x^{2}}{2}}\sin(tx)dx}$$ est nulle ?
$ | \int_{\R}^{}{e^{\frac{-x^{2}}{2}}\sin(tx)dx} | \leq \int_{\R}^{}{e^{\frac{-x^{2}}{2}}dx}=0 $