Équation différentielle

C'est quoi $K_{\lambda}$ ?

Kiki10 a écrit:

je ne connais pas les règles de calcul des transformations de Laplace,bien qu’ayant cherché sur internet.

Ça ça veut dire que tu n'as pas vraiment cherché, il y a la plupart des règles de calculs importantes simplement sur la page Wikipedia de la transformée de Laplace, section Propriétés.

Ici il suffit d'utiliser la linéarité, la formule donnant la TL d'une dérivée, le calcul de la TL du membre de droite, puis finalement une petite inversion.

Bonjour Kiki.

Une solution (pas la plus naturelle...)
Ta fonction $y(t) = 2e^{-6t}\sin(3t)$ est clairement solution sur $\R$ de $y'' + 12y' + 45y = 0$.
Donc elle admet pour primitive $-\dfrac1{45}(y'+12y)$.

e.v.

Que se passe-t-il lorsque tu primitives les deux membres de $y'' + 12y' + 45y = 0$ ?

Hmmm?

e.v.

Bonjour.

Je ne comprends pas où est le problème ...
* Par la TL, on applique la TL à l'équation, et on obtient $pF(p)-f(0)-6F(p) = g(p)$ où g est la TL du second membre (utiliser les tables de TL pour l'avoir). On en déduit $F(p)= ...$ et, en utilisant éventuellement une décomposition en éléments simples, on se ramène à nouveaux aux tables de transformation.
* Par la méthode habituelles, on trouve la solution générale de l'équation sans second membre, puis on cherche une solution particulière qui, vu le second membre sera de la forme $A\sin(3t)+B\cos(3t)$ (en faisant le calcul, facile de voir pourquoi ça devait marcher). Et on additionne. (*)

Sinon, $\int_0^{+\infty} 2e^{-6t}\sin(3t)\ dt = F(6) $ où $F$ est la TL de $2\sin(3t)\Upsilon(t)$. Mais ça ne donne pas une primitive ...

Cordialement.

(*) se souvenir que la méthode générale (ici "variation de la constante", j'imagine) est à utiliser dans le cas général, donc le moins souvent possible. Les équations différentielles linéaires à coefficients constants vues dans les deux années post bac ont très souvent des solutions particulières faciles à trouver.