Minimisation fonctionnelle $J(u^{0},u^{1})$

Bonsoir, s'il vous plait,est ce que quelqu'un parmi vous peut m'aider à minimiser la fonctionnelle suivante:
$$J\left(\left(u^{0}, u^{1}\right)\right)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4} \bigg(- a_{k} k \pi \sin(k\pi t_{1}) + b_{k} \cos(k\pi t_{1}) \bigg)^{2}+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty}\left(\hat{y}_{k}^{0} b_{k}-\hat{y}_{k}^{1} a_{k}\right)$$
Avec
$$u^{0}(x)=\sum_{k \geq 1} a_{k} \sin (k \pi x), \quad u^{1}(x)=\sum_{k \geq 1} b_{k} \sin (k \pi x)$$

vous trouvez ci-joint un exemple qui ressemble très bien à ce que je veux (Image)!!