Données initiales d'un problème du contrôle

Salut tout le monde, c'est ma premier participation en ce magnifique Forum.

j'ai une question s'il vous plait, on considère le problème du contrôle suivante (avec $v$ c'est le controle)
$$\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}=1_{\omega} v(t)& x \in (0,1) \times t \in(0, T) \\
u(0, t)=u(1, t)=0 & t \in(0, T) \\
u(x, 0)=u^{0}(x), \frac{\partial u(x, 0)}{\partial t}=u^{1}(x) & x \in (0,1)
\end{array}\right.$$
Par suite, on considère sont problème adjoint
$$\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\partial^{2} \varphi(x, t)}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} \varphi(x, t)}{\partial x^{2}}=0 & x \in (0,1) \times t \in(0, T) \\
\varphi(0, t)=\varphi(1, t)=0 & t \in(0, T) \\
\varphi(x, 0)=\varphi^{0}(x), \frac{\partial \varphi(x, 0)}{\partial t}=\varphi^{1}(x) & x \in (0,1)
\end{array}\right.$$

Ma question est le suivant :
Si je pose par exemple que les données initiales du problème de controle sont: $$(u^{0},u^{1}) = (\sum_{k=1}^{n} \sin(k \pi x),\sum_{k=1}^{n} k\pi \sin(k \pi x))$$
qu'il sont les données initiales da sa problème adjoint $(\varphi^{0},\varphi^{1})$ ?
normalement il y a une transformation qui permet de passer des données initiales de problème du controle à les données
initiales du problème adjoint, (sa une relation avec HUM) mais je ne suis pas sur, j'ai pas trouver un exemple sur internet ,

Bien cordialement,