Dérivation

Bonjour,
Pourquoi ils ont enlevé la valeur absolue ?
Et c'est quoi la différence entre $ \left(\sqrt{x}\right)^{2}$ et $\sqrt{x^{2}}$ ?
\begin{align*}
f'(x)&=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\right)'\\
&=\dfrac{-\left(\sqrt{x-1}\right)'}{\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}}=\dfrac{-\left(\dfrac{(x-1)'}{\sqrt{x-1}}\right)}{\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}}\\
&=\dfrac{-\left(\dfrac{(x)'-(1)'}{\sqrt{x-1}}\right)}{\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}}=\dfrac{-\left(\dfrac{1-0}{\sqrt{x-1}}\right)}{\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}}=\dfrac{-\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\right)}{\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}}\\
&=-\dfrac{1}{2\sqrt{(x-1)}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}}=-\dfrac{1}{2\sqrt{(x-1)}|x-1|}\\
&=\boxed{-\dfrac{1}{2\left(x-1\right)\sqrt{(x-1)}}}
\end{align*}