Équation d'hyperbole

Brigate
Brigate
dans Analyse
Bonjour à tous
En lisant un texte de mathématiques traitant de tout à fait autre chose, je me suis retrouvé devant l'équation suivante : $$

c\sigma^2-\frac{c^2(m-a/c)^2}{d}=1 .

$$ Ce serait apparemment l'équation d'une hyperbole dans le plan de coordonnées $(\sigma,m)$.
Ayant appris les mathématiques en autodidacte, j'ai de grosses lacunes dans certains domaines des mathématiques.
Je demande votre aide pour comprendre grossièrement quelques petites choses.

1) Quelle est la forme générale de l'équation d'une hyperbole dans le plan ? (J'ai vu des choses mais j'ai été incapable de relier cela avec mon deuxième point.)

2) Comment, en partant de cette équation, peut-on déduire les coordonnées du "centre" de l'hyperbole ? (d'ailleurs quel est la définition d'un tel "centre")

3)Comment, en partant de l'équation, peut-on en déduire les asymptotes de celle-ci ?

Si vous aviez l'obligeance de m'aider à mieux comprendre, je vous en serais reconnaissant.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Une hyperbole peut être représentée dans un repère convenable par une équation de la forme $ax^2 - by^2 = 1$ avec $a, b, c \geq 0$. C'est le cas de ton équation, après une petite translation sur la variable $m$. Dans ce cas, le centre de l'hyperbole est juste l'origine ! Pour les asymptotes, une fois que l'on reconnaît que $ax^2-by^2 = (\sqrt a x + \sqrt b y)(\sqrt a x - \sqrt b y)$, il est facile de voir qu'il s'agit des droites d'équation $\sqrt a x + \sqrt b y=0$ et $\sqrt a x - \sqrt b y=0$.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Probablement sous-entendu par Poirot, mais non précisé : le centre de l'hyperbole est l'intersection de ses asymptotes.

    Sinon, pour pinailler un peu, "le plan de coordonnées $(\sigma,m)$" ça ne veut rien dire.
  • Brigate
    Brigate
    Poirot. Merci, je crois comprendre. Donc mon équation serait donc de centre $(0,a/c)$.

    Homo Topi. Merci pour la précision. Cela vous parait évident mais je n'avais pas une compréhension claire de ce qu'était le centre. Pour le plan, j'aurais dû dire "plan d'abscisse $\sigma$ et d'ordonnée $m$" ou est-ce toujours faux ?
  • Homo Topi
    Homo Topi
    C'est quoi pour toi, les coordonnées d'un plan ?
  • Brigate
    Brigate
    Homo Topi : Je dirais que étant donnés 2 vecteurs u et v qui engendrent ce plan et un point que l'on nommera l'origine O. Les coordonnées d'un point x du plan ce sont les scalaires $\lambda$ et $\mu$ tels que $x=\lambda u + \mu v $.
    Je me trompe peut-être. C'est plus un ressenti qu'une définition.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Oui mais là tu parles des coordonnées d'un point du plan, ça c'est bon. Ce que tu avais écrit, c'est "le plan de coordonnées...", ce n'est pas pareil. Un plan n'a pas vraiment de coordonnées (et encore, s'il en avait ça serait dans l'espace, là notre problème de base est déjà dans le plan, donc un plan dans le plan...). Bref. Je pense que tu n'as pas fait attention en écrivant, et que ce n'est pas ça que tu voulais dire. Ce que tu veux probablement dire, c'est qu'un point $M$ (du plan), de coordonnées $(\sigma,m)$ (dans le plan), est sur ton hyperbole si, et seulement si, ses coordonnées vérifient l'équation de l'hyperbole, et ça c'est évidemment vrai.
  • Brigate
    Brigate
    Oui tu as raison ! Je n'ai pas fait attention !

    À ma grande honte, je me rends compte que j'ai dû faire cette erreur un grand nombre de fois. Merci de me l'avoir mise en évidence.
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