Distraction anti confinement
Bonjour,
1- Montrer qu'il existe une fonction non constante de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ qui envoie tout intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ en un intervalle fermé de $\mathbb{R}$.
2- Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant $\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x -y \right |^2 , \;\; \forall x, y \in \mathbb{R}$ . Montrer que $f$ est constante.
3- Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ continue vérifiant $f \big( x+\frac{1}{n} \big) =f(x),\quad \forall x\in \mathbb{R},\ \forall n\in \mathbb{N^*}$. Montrer que $f$ est constante.
[size=x-large]episode 2[/size]
4- Soit $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une application . Démontrer que
$\{\frac{f(x)}x, x\in \mathbb{R^*} \}$ est un ensemble fini $\iff f$ est l’identité de $\mathbb{R}$
5-Existe-t-il une fonction $f: \mathbb{N^*}\to \mathbb{N^*}$ telle que $f(f(n))=n+2021$ ( si on a la chance de rester envie jusqu'a 2021)
6-Soit $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une application . Démontrer que
$\forall x\in \mathbb{R}, \forall r\in \mathbb{Q} \quad |f(x)-f(r)|\leq (2020) |x-r|^2\quad \iff f$ est constante
1- Montrer qu'il existe une fonction non constante de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ qui envoie tout intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ en un intervalle fermé de $\mathbb{R}$.
2- Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant $\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x -y \right |^2 , \;\; \forall x, y \in \mathbb{R}$ . Montrer que $f$ est constante.
3- Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ continue vérifiant $f \big( x+\frac{1}{n} \big) =f(x),\quad \forall x\in \mathbb{R},\ \forall n\in \mathbb{N^*}$. Montrer que $f$ est constante.
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4- Soit $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une application . Démontrer que
$\{\frac{f(x)}x, x\in \mathbb{R^*} \}$ est un ensemble fini $\iff f$ est l’identité de $\mathbb{R}$
5-Existe-t-il une fonction $f: \mathbb{N^*}\to \mathbb{N^*}$ telle que $f(f(n))=n+2021$ ( si on a la chance de rester envie jusqu'a 2021)
6-Soit $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une application . Démontrer que
$\forall x\in \mathbb{R}, \forall r\in \mathbb{Q} \quad |f(x)-f(r)|\leq (2020) |x-r|^2\quad \iff f$ est constante
Le 😄 Farceur
Réponses
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4- Compter jusqu'à cinq milliards...
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1.
Le fait qu’elle soit non constante est évident, non ?
Par contre, le fait qu’elle existe, je ne sais pas encore le faire. -
Dom une fonction constante solutionne le problème: elle envoie le tout dans un fermé . on l’écarte c'est toutLe 😄 Farceur
-
2- La fonction $f$ est dérivable de dérivée nulle car si $x \neq y$ alors $|\frac {f(x)-f(y)}{x-y}| \le |x-y$|.
3 - La fonction $f$ étant continue, le groupe de ses périodes est fermé. L'hypothèse $ \forall x\in \mathbb{R},\forall n\in \mathbb{N^*},f \left( x+\frac{1}{n} \right) =f(x)$ implique que tous les rationnels sont des périodes de $f$. Etc.
Excellente idée de nous distraire dans notre confinement. Bravo Gebrane.
Par contre, je ne vois pas pour la question 1.
Bonne soirée.
Fr. Ch.. -
Le fait qu'elle soit non constante est au contraire le coeur du problème. Sans cette contrainte supplémentaire, le problème était facile.
Avec cette contrainte, je cherche, mais j'en suis à douter de l'énoncé.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bonjour,
1. Il existe une fonction telle que l'image par cette fonction de tout intervalle non trivial est $\mathbb R$ (la fonction de Conway en base 13, par exemple, il y a un article Wikipédia dessus). Une telle fonction convient. -
Pour la première question : la fonction de $\R$ dans $\R$ qui prend pour valeur $1$ en $0$ et qui est égale à $0$ partout ailleurs. Je ne sais pas si c'est la réponse attendue.
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Bonsoir,
le 3) reste vrai si on remplace continue par continue en $0$. -
Au temps pour moi, j’ai dit une bêtise.
J’ai commis une crasse confusion. -
Oui, tu as raison, Calli. Je suis allé trop vite. Ça aurait été trop facile...
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@Calli je ne connaissais pas la Fonction de Conway. Elle est impressionnante mais vachement tordue quand même.
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@raoul.S : Oui, très tordue. On peut la simplifier un peu.
Soit $x\in \mathbb{R}$.- Si le développement (propre, mais peu importe) de $x$ en base 3 contient un nombre de chiffres 2 infini ou inférieur à deux, on pose $f(x)=0$.
- Sinon, notons $x=\overline{\cdots ,\cdots 2 b_{1} \cdots b_{k} 2 c_{1} c_{2} \cdots }^{3}$ le développement de $x$ en base 3 de façon à ce que les $b_{i}$ et $c_{j}$ soient des 0 ou des 1 (la place de la virgule n'a aucune importance).
- S'il y a un nombre pair de chiffres 2 dans ce développement, on pose $f(x) = \overline{b_{1} \cdots b_{k} , c_{1} c_{2} \cdots }^{2}$ en base 2.
- Sinon, on pose $f(x) = - \overline{b_{1} \cdots b_{k} , c_{1} c_{2} \cdots }^{2}$.
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Je posais une version du 2 en Math. Sup, en 1991-92, écrit avec ce bon vieux ChiWriter. Comme le temps passe.
-
Pour le 3, je n'avais pas pensé à une fonction qui envoie tout intervalle non trivial sur $\mathbb R$ tout entier. C'est un peu de la triche car si $\mathbb R$ est bien ouvert, il est aussi fermé. Mais bon, stricto sensu, c'est correct, même si c'est un peu décevant.
Un mérite de la fonction de Conway c'est son caractère explicite, mais on peut aussi définir, disons virtuellement, une fonction qui a la même propriété.
Une application $f$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ est dite additive si : $ \forall x \in \mathbb R, \forall y \in \mathbb R, f(x+y)=f(x)+f(y)$. C'est l'équation fonctionnelle de Cauchy-linéaire, la mère de toutes les équations fonctionnelles. On montre sans grand mal que pour une telle application additive $f$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, l'image de tout intervalle non trivial est $\mathbb R$ tout entier si et seulement si $f$ est surjective et non injective. On peut définir une telle fonction au moyen d'une base de Hamel de $\mathbb R$ comme $\mathbb Q$-espace vectoriel.
On en a parlé sur ce forum il y a sept ans, durant le bel été 2013.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,813002,813002#msg-813002
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,813002,821635#msg-821635
Bonne journée.
Fr. Ch. -
La réponse à la question 1 est $f$ constante non ?
$f(x)=x \sin (\dfrac{\pi}{x})$
Donc pour $x \ne 0$ on a $\dfrac{f(x)-f(x)}{x-0} = \sin (\dfrac{\pi}{x}) $
Posons $g(x)=\sin (\dfrac{\pi}{x})$
Elle n'est pas dérivable, prenons les suites extraites $u_n= \dfrac{1}{n} \longrightarrow 0$ et $u_n= \dfrac{1}{2n+\frac{1}{2}} \longrightarrow 0$
On a $g(u_n)= \sin (n \pi)=0$ alors que $g(v_n) = \sin (2n \pi + \dfrac{\pi}{2}) = \cos (2n \pi ) = 1 \ne 0$ -
Le 1) est intéressant.
-
Chaurien a écrit:Pour le 3, je n'avais pas pensé à une fonction qui envoie tout intervalle non trivial sur $\mathbb R$ tout entier. C'est un peu de la triche car si $\mathbb R$ est bien ouvert, il est aussi fermé.
Oui et je suis très fier de mon coup. :-D Après, c'est pas comme si ça trivialisait la réponse, non plus.
Si tu veux obtenir un "vrai" intervalle fermé, je n'ai qu'à poser $g(x) = \max(-1,\min(1,f(x)))$ où $f$ est la fonction de Conway. Mais là j'ai le sentiment d'avoir encore plus triché. X:-( -
Un bel exemple que j'ai vu récemment pour le 1, avec l'image de tout intervalle ouvert qui vaut $[0;1]$ :
\[
\forall x\in \mathbb R,\quad f(x) = \limsup_{n\to\infty} \frac1n \sum_{k=1}^n (\lfloor 2^k x\rfloor - 2\lfloor 2^{k-1} x\rfloor).
\]
Autrement dit, $f(x)$ est essentiellement « la proportion » de chiffres $1$ dans le développement dyadique de $x$. -
Bonjour à tous,
vous souhaitant une bonne santé, une solution proposée pour le 1 source : http://pathtomathematics.blogspot.com/2015/12/functions-mapping-open-interval-to.htmlLe 😄 Farceur -
Pour la 1) de Chaurien :
Supposons $f$ non constante, il existe alors $x$ tel que $f(x) \neq 0$. Il existe de plus un réel $y$ tel que $f(x) \neq f(y)$ et $0\notin f([x;y])$ (cela vient de la continuité de $f$). D'après le théorème des accroissements finis il existe $c \in[x;y]$ tel que $f'(c) = \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \neq 0$ et puisque $0\notin f([x;y])$ on en déduit que $f(c) \neq 0$.
Les seules fonctions vérifiant la condition sont donc les fonctions constantes. -
Pour la même question : la condition équivaut à $2ff'=0$. Par le théorème des accroissements finis, la fonction $f^2$, dont la dérivée est partout nulle, est constante. Dans le cas où cette constante est non nulle, le théorème des valeurs intermédiaires implique que $f$ est constante.
-
Pas mal @Math Coss ! (tu)
On peut aussi dire que, s'il existe $x$ tel que $f(x) \neq 0$, alors la composante connexe de $f^{-1}(\mathbb{R}^*)$ contenant $x$ est intervalle $I$ ouvert sur lequel la dérivée s'annule, donc $f_{|I}$ est constante. Or $I$ vaut forcément $\Bbb R$, car sinon $f_{|I}=0$. Donc $f$ est constante sur $\Bbb R$ en toutes circonstances. -
Joli, Math Coss.
-
Je n'ai pas compris la preuve de Corto non plus à partir du $0 \notin f([x,y])$.
Chaurien vous auriez la correction donnée à vos anciens étudiants ? -
D'abord, on peut se tutoyer conformément à l'usage sur ce forum. J'ai comme dit Brassens la tête chenue mais le coeur ingénu. Ensuite, je n'ai pas rédigé le corrigé des 1054 exercices que j'avais donnés à la classe de HX3 cette année-là.Que dire d'une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb R$ telle que, pour tout réel $x$, on ait : $ f(x)=0$ ou $f'(x)=0$ ?Il était sous-entendu que la fonction $f$ est à valeurs réelles car ce chapitre était consacré à ces fonctions. Si je me rappelle bien, j'avais posé $g(x)=f(x)^2$, et l'hypothèse équivaut à : $g'(x)=0$, ce qui implique que $g(x)=C \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb R$.
Si $C=0$ alors $f$ est la constante nulle.
Si $C>0 $, alors $ f(x)= \pm \sqrt C$ pour tout $x \in \mathbb R$.
Premier cas, si $ f(x_0)=\sqrt C >0$ pour un $x_0 \in \mathbb R$ alors $f(x)$ ne peut être égal à $ -\sqrt C$ pour aucun $x \in \mathbb R$ parce que la fonction continue $f$ satisfait toujours à la propriété des valeurs intermédiaires et devrait donc s'annuler.
Second cas, $ f(x_0)=-\sqrt C$ pour tout $x \in \mathbb R$.
La fonction $f$ est constante dans les deux cas.
En fait, ceci se généralise aux fonctions à valeurs complexes parce que l'image de $ \mathbb R$ par une fonction continue est connexe par arcs et ne saurait donc être constituée d'une paire de points distincts. Ceci a été dit plus haut, me semble-t-il.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Oshine, je ne suis pas sûr de savoir ce que tu ne comprends pas. Est ce que tu es d'accord avec l'existence de mon $x$ et mon $y$ tels que $f(x)\neq f(y)$ et $0$ n'est pas dans l'image de $[x;y]$ par $f$ ?
Si oui, ce que je dis c'est que il existe un point $c\in [x;y]$ tel que $f'(c) = \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ par le théorème des accroissements finis. On a donc $f'(c)\neq 0$ puisque $f(y)\neq f(x)$, de plus $f(c) \neq 0$ car $c\in [x;y]$ et $0\notin f([x;y])$. On a donc trouvé un point $c$ tel que $f(c)\neq 0 $ et $f'(c) \neq 0$. On a donc montré que pour tout fonction dérivable non constante il existe un point $c$ pour lequel $f(c) \neq 0$ et $f'(c)\neq 0$. Par contraposée, un fonction vérifiant pour tout $x$ réel $f(x)=0$ ou $f'(x)=0$ est nécessairement constante. On voit de plus facilement que toutes les fonctions constantes vérifient bien cette condition (puisque leur dérivée est identiquement nulle). Les fonctions de la question de Chaurien sont donc exactement les fonctions constantes. -
Une autre possibilité pour l’exercice 2 de gebrane est de découper le segment $[x,y]$ en $n$ morceaux.
-
Merci !
Corto je n'avais pas compris que $0 \notin f([x,y])$ mais je viens de comprendre. $f(c) \ne 0$ et $f$ continue en $c$ donc $\lim_c f \ne 0$ donc $f$ est non nulle au voisinage de $c$, voisinage que l'on peut noter $[x,y]$. -
Bonjour à tous
( ce n'est ni un défi, ni une compétition, ni un devoir à rendre, c'est seulement pour se distraire)
[size=x-large]episode 2[/size]
4- Soit $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une application telle que $\forall x\in \mathbb {R}, f(x - 1 - f(x)) = f(x) - x - 1 .$ Démontrer que
$\{\frac{f(x)}x, x\in \mathbb{R^*} \}$ est un ensemble fini $\iff f$ est l’identité de $\mathbb{R}$
5-Existe-t-il une fonction $f: \mathbb{N^*}\to \mathbb{N^*}$ telle que $f(f(n))=n+2021$ ( si on a la chance de rester en vie jusqu'a 2021)
6-Soit $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une application . Démontrer que
$\forall x\in \mathbb{R}, \forall r\in \mathbb{Q} \quad |f(x)-f(r)|\leq (2020) |x-r|^2\quad \iff f$ est constanteLe 😄 Farceur -
Salut gebrane, merci pour tes exercices !
Pour la 4), que penses-tu de $f : x \mapsto |x|$ ? -
Bonsoir gebrane,
Pour le 4), ne voulais-tu pas dire que $f$ est continue et qu'alors ce soit être un multiple de l'identité ? edit : Corto donne aussi un contre-exemple pour ça.
Pour le 5), je propose de plutôt classifier les fonctions d'un ensemble vers lui-même qui peuvent s'écrire comme la composée d'une fonction avec elle-même (i.e. quels sont les carrés du monoïde des endomorphismes d'un ensemble). Est-ce faisable ? -
toutes mes excuses pour la 4, fausse manœuvre, je vais corriger ce qui manquait
merci corto
@ Champ-Pot-Lion le f ne peut exister ! pour la 5Le 😄 Farceur -
Oui gebrane, je l'ai vu. Mais classifier les fonctions qui vérifient ce que j'ai dit, ça veut dire la même chose que classifier celles qui ne le vérifient pas, je demande un critère "visuel". On peut dessiner une fonction $X \to X$ comme un graphe dont les points sont les éléments de $X$ et avec une flèche et une seule qui part de chaque point. On peut comprendre assez bien à quoi ressemblent les composantes connexes de ces graphes et je me demandais s'il existait une condition pour que la fonction soit un carré. Je ne sais pas si c'est faisable.
-
Champ-Pot-Lion Je n'ai pas saisi ta question pour le moment mais si on remplace 2021 par un nombre pair: exemple 2020 une solution triviale sauf erreur est $f=f(x)=x+1010$ j'essaie d'élucider ce mystère pourquoi l'imparité empêche l’existenceLe 😄 Farceur
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etanche
Tu n'as pas compris le but! tu me, tu nous gâche le plaisir de débattre des idées pour trouver des éléments de solutions. Presque aucune question ne résiste à ce Forum.. ( cette liste m' a été envoyé par un membre de mon groupe uniquement que pour le plaisir et se distraire face au confinement)Le 😄 Farceur -
@gebrane Le document n'enlève rien à la possibilité de chercher soi-même !
-
Chaurien écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1961014,1961156#msg-1961156
Je me demandais depuis longtemps quel logiciel de traitement de texte générait ces documents, tu viens de m'apprendre quelque chose. Tu arrives toujours à faire fonctionner ChiWriter aujourd'hui ? J'ai lu qu'il générait des fichiers PS.
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