Rédaction de solution pour une limite
Bonjour,
je voudrais savoir si ma redaction 1 ou bien 2 pour calculer la limite suivante est bonne. $$\lim_{x\to\:0}\Big(\dfrac{x\left|x\right|}{x}\Big)=0.$$ Merci de me corriger
Redaction numero 1:
on a $\lim_{x\to\:0^{-}}\big(\frac{x\left|x\right|}{x}\big)=\lim _{x\to \:0^{-}}\left|x\right|=\lim_{x\to\:0^{-}}\left(-x\right)=-0=0$
on a $\lim_{x\to\:0^{+}}\big(\frac{x\left|x\right|}{x}\big)=\lim _{x\to \:0^{+}}\left|x\right|=\lim_{x\to\:0^{+}}\left(x\right)=0$
et par suite $\lim_{x\to\:0}\Big(\dfrac{x\left|x\right|}{x}\Big)=0$
Redaction numero 2:
on a $\lim_{x\to\:0^{-}}\big(\frac{x\left|x\right|}{x}\big)=\lim _{x\to \:0^{-}}\big(\frac{x\left(-x\right)}{x}\big)=\lim_{x\to\:0^{-}}\left(-x\right)=-0=0$
on a $\lim_{x\to\:0^{+}}\big(\frac{x\left|x\right|}{x}\big)=\lim _{x\to \:0^{+}}\big(\frac{x\left(-x\right)}{x}\big)=\lim_{x\to\:0^{+}}\left(x\right)=0$
et par suite $\lim_{x\to\:0}\Big(\dfrac{x\left|x\right|}{x}\Big)=0$
Merci d'avance.
je voudrais savoir si ma redaction 1 ou bien 2 pour calculer la limite suivante est bonne. $$\lim_{x\to\:0}\Big(\dfrac{x\left|x\right|}{x}\Big)=0.$$ Merci de me corriger
Redaction numero 1:
on a $\lim_{x\to\:0^{-}}\big(\frac{x\left|x\right|}{x}\big)=\lim _{x\to \:0^{-}}\left|x\right|=\lim_{x\to\:0^{-}}\left(-x\right)=-0=0$
on a $\lim_{x\to\:0^{+}}\big(\frac{x\left|x\right|}{x}\big)=\lim _{x\to \:0^{+}}\left|x\right|=\lim_{x\to\:0^{+}}\left(x\right)=0$
et par suite $\lim_{x\to\:0}\Big(\dfrac{x\left|x\right|}{x}\Big)=0$
Redaction numero 2:
on a $\lim_{x\to\:0^{-}}\big(\frac{x\left|x\right|}{x}\big)=\lim _{x\to \:0^{-}}\big(\frac{x\left(-x\right)}{x}\big)=\lim_{x\to\:0^{-}}\left(-x\right)=-0=0$
on a $\lim_{x\to\:0^{+}}\big(\frac{x\left|x\right|}{x}\big)=\lim _{x\to \:0^{+}}\big(\frac{x\left(-x\right)}{x}\big)=\lim_{x\to\:0^{+}}\left(x\right)=0$
et par suite $\lim_{x\to\:0}\Big(\dfrac{x\left|x\right|}{x}\Big)=0$
Merci d'avance.
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Réponses
Sinon , tu pouvais dire sans inquiétude que $ \dfrac{x\left|x\right|}{x} = |x| $ sur au voisinage de 0 . et directement que $ |x| $ est continue en 0 de limite 0. ( la continuité de la valeur absolue va te permettre de pas passer par les cas )
Comment tu vas rédiger cella $\lim_{x\to\:2}\Big(\dfrac{\left|x-2\right|}{x^2-x-2}\Big)$
qu'on parle de continuité ou pas, la limite en 0 de |x| est 0. Et on utilise en le disant la continuité (on utilise la propriété $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$ avec a=0 et f(x)=|x|).
En fait, tes deux rédactions n'ont aucun intérêt mathématique, c'est du remplissage, pas de la démonstration. mais j'ai fini par comprendre que ce qui t'intéresse n'est pas les maths (les preuves) seulement d'en écrire beaucoup et que ce soit "juste". Tes deux rédactions sont "justes" mais idiotes.
Cordialement.
NB : La rédaction du matheux : Pour $x\neq 0,\ \frac{x|x|}x=|x|$ donc $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x|x|}x=\lim\limits_{x \to 0}|x|=0$.
Educ,
Tu vois que Gérard ne commence pas tout de suite par écrire $\lim$.
Il travaille d’abord puis il écrit $\lim$.