Produit scalaire, endomorphisme et intégrales
dans Analyse
Bonjour à tous, voici un exercice que j'ai du mal à résoudre :
On considère l'espace euclidien E = C0 ([0;1] ; R) muni du produit scalaire < ; > suivant :
Pour tout (f,g) appartenant à E² < f ; g > = intégrale (de 0 à 1) f(x).g(x) dx
On note T l'opérateur défini pour tout f de E par : Pour tout x appartenant à [0;1] T(f)(x) = intégrale (de 0 à x) f(t)dt
1) Justifier que T appartient à L(E)
Autrement dit, montrer que T est un endomorphisme de E.
Je justifie en disant que, par définition de l'intégrale, pour tout f de E et pour tout x de [0;1] on a bien intégrale (de 0 à x) f(t)dt dans R donc T(f) dans E
2) Montrer qu'il existe un unique élément de L(E) noté T* tel que : Pour tout (f,g) appartenant à E² <T(f) ; g> = <f ; T*(g)>
NB : On cherchera à définir explicitement T*(f)(x) en passant par des intégrations par parties.
Par calcul je trouve T*(f)(x) = intégrale (de x à 1) f(t)dt soit l'unique primitive de f qui s'annule en 1
3) a) Montrer que T est injectif et non surjectif
Ici je cherche à montrer que T(f) = 0 => f=0. Mon idée est de dire que pour toute fonction f dans E, [0;1] est l'ensemble des intervalles [0;x1], [x1,x2],..., [xn, 1] tel que f est de même signe sur chaque intervalle. Ainsi on a T(f)(x1) = 0 avec f de signe constant sur l'intervalle [0,x1] donc f est nécessairement nulle sur cette intervalle. Ensuite on démontre la même chose sur l'intervalle [x1,x2] avec T(f)(x2) = 0 et f déjà nulle sur [0,x1]. Par récurrence on montre que f est nulle sur [0,1]. Je sais que c'est mal posé et je suppose qu'il existe un autre moyen plus élégant et plus efficace pour le montrer mais je n'ai rien trouvé de mieux.
Pour la non-surjectivité, qui revient à montrer qu'il existe f appartenant à E telle qu'il n'existe aucune fonction g dans E vérifiant T(g)(x) = f(x) pour tout x.
J'ai du mal à trouver un contre-exemple.
b) Montrer que T ne possède aucune valeur propre.
J'ai essayé de travailler avec l'égalité montrée en 2 et le T* mais je n'arrive pas à montrer que T(f)- a . f = 0 => f = 0 (avec a constante non nulle)
4) Soit b une valeur spectrale éventuelle de T, c'est-à-dire que b Id - T soit non inversible
a) Justifier que pour tout b appartenant à R l'opérateur b Id - T est injectif
b) Montrer que pour tout b appartenant à R* l'opérateur b Id - T est surjectif
c) Que peut-on en déduire pour b ?
On considère l'espace euclidien E = C0 ([0;1] ; R) muni du produit scalaire < ; > suivant :
Pour tout (f,g) appartenant à E² < f ; g > = intégrale (de 0 à 1) f(x).g(x) dx
On note T l'opérateur défini pour tout f de E par : Pour tout x appartenant à [0;1] T(f)(x) = intégrale (de 0 à x) f(t)dt
1) Justifier que T appartient à L(E)
Autrement dit, montrer que T est un endomorphisme de E.
Je justifie en disant que, par définition de l'intégrale, pour tout f de E et pour tout x de [0;1] on a bien intégrale (de 0 à x) f(t)dt dans R donc T(f) dans E
2) Montrer qu'il existe un unique élément de L(E) noté T* tel que : Pour tout (f,g) appartenant à E² <T(f) ; g> = <f ; T*(g)>
NB : On cherchera à définir explicitement T*(f)(x) en passant par des intégrations par parties.
Par calcul je trouve T*(f)(x) = intégrale (de x à 1) f(t)dt soit l'unique primitive de f qui s'annule en 1
3) a) Montrer que T est injectif et non surjectif
Ici je cherche à montrer que T(f) = 0 => f=0. Mon idée est de dire que pour toute fonction f dans E, [0;1] est l'ensemble des intervalles [0;x1], [x1,x2],..., [xn, 1] tel que f est de même signe sur chaque intervalle. Ainsi on a T(f)(x1) = 0 avec f de signe constant sur l'intervalle [0,x1] donc f est nécessairement nulle sur cette intervalle. Ensuite on démontre la même chose sur l'intervalle [x1,x2] avec T(f)(x2) = 0 et f déjà nulle sur [0,x1]. Par récurrence on montre que f est nulle sur [0,1]. Je sais que c'est mal posé et je suppose qu'il existe un autre moyen plus élégant et plus efficace pour le montrer mais je n'ai rien trouvé de mieux.
Pour la non-surjectivité, qui revient à montrer qu'il existe f appartenant à E telle qu'il n'existe aucune fonction g dans E vérifiant T(g)(x) = f(x) pour tout x.
J'ai du mal à trouver un contre-exemple.
b) Montrer que T ne possède aucune valeur propre.
J'ai essayé de travailler avec l'égalité montrée en 2 et le T* mais je n'arrive pas à montrer que T(f)- a . f = 0 => f = 0 (avec a constante non nulle)
4) Soit b une valeur spectrale éventuelle de T, c'est-à-dire que b Id - T soit non inversible
a) Justifier que pour tout b appartenant à R l'opérateur b Id - T est injectif
b) Montrer que pour tout b appartenant à R* l'opérateur b Id - T est surjectif
c) Que peut-on en déduire pour b ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
brièvement pour le 3-b: $T(f)-af=0$ est équivalente à $T(f)(x)-af(x)=0, \forall x \in [0;1]$, cette dernière égalité ayant une "bonne tête" d'équation différentielle d'ordre 1, on devrait pouvoir la résoudre ;-)
A+
F.
Pour l'injectivité c'est une bonne idée, mais le problème c'est que tu ne peux pas forcément indexer les intervalles où $f$ est de signe constant de cette manière (pense par exemple à $x \mapsto x \sin(1/x)$). Tu peux en fait plus facilement remarquer que si $T(f)=0$, alors sa dérivée $f$ est égale à $0$. ;-)
Concernant la surjectivité de f, je peux donc prendre une fonction constante sur [0 ;1] et différente de 0.
Poster un même sujet sur plusieurs forums est peut-être interdit dans le règlement du site. Si tel est le cas je ne l'ai pas vu.
Il semble en tout cas que cela soit mal perçu. J'éviterai donc de répéter cela à l'avenir.
C'est pris en compte.
Merci encore pour votre aide.