Analyse complexe
Bonjour
Je commence l'analyse complexe et j'ai un exo qui me pose quelques soucis, merci pour votre aide !
Soit D un domaine de C et f : D->C analytique. On pose f=P+iQ (respectivement partie réelle et imaginaire)
Montrer les équivalences suivantes.
a) f constante
b) |f| constante
c) $\bar{f}$ analytique sur D
d) P constante
e) Qconstante
Donc je souhaite faire une boucle d'implications
a) $\Rightarrow$ b) me semble trivial
Ensuite j'ai montré b) $\Rightarrow$ a) (car je n'arrivais pas a faire b) $\Rightarrow$ c)
Supposons |f| constante.
Par l'absurde, si f n'était pas constante alors par le theoreme de l'image ouverte f(D)=U ou U est un ouvert de C
Or comme |f| est constante, f(D) est inclus dans un cercle (fermé de C) absurde donc f est constante.
a) $\Rightarrow$ c)
La aussi ca me semble trivial mais dites moi si c'est correct svp
Supposons f constante.
Si f est nulle alors $\bar{f}$ l'est aussi et donc [tex]\bar{f}[/tex] est bien analytique
Sinon si f est non nulle alors $\bar{f}$=|f|^2 / f est aussi constante sur D, donc analytique sur D
Voilà après je bloque pour les implications c $\Rightarrow$ d
d $\Rightarrow$ e
e $\Rightarrow$ a ou b
Je commence l'analyse complexe et j'ai un exo qui me pose quelques soucis, merci pour votre aide !
Soit D un domaine de C et f : D->C analytique. On pose f=P+iQ (respectivement partie réelle et imaginaire)
Montrer les équivalences suivantes.
a) f constante
b) |f| constante
c) $\bar{f}$ analytique sur D
d) P constante
e) Qconstante
Donc je souhaite faire une boucle d'implications
a) $\Rightarrow$ b) me semble trivial
Ensuite j'ai montré b) $\Rightarrow$ a) (car je n'arrivais pas a faire b) $\Rightarrow$ c)
Supposons |f| constante.
Par l'absurde, si f n'était pas constante alors par le theoreme de l'image ouverte f(D)=U ou U est un ouvert de C
Or comme |f| est constante, f(D) est inclus dans un cercle (fermé de C) absurde donc f est constante.
a) $\Rightarrow$ c)
La aussi ca me semble trivial mais dites moi si c'est correct svp
Supposons f constante.
Si f est nulle alors $\bar{f}$ l'est aussi et donc [tex]\bar{f}[/tex] est bien analytique
Sinon si f est non nulle alors $\bar{f}$=|f|^2 / f est aussi constante sur D, donc analytique sur D
Voilà après je bloque pour les implications c $\Rightarrow$ d
d $\Rightarrow$ e
e $\Rightarrow$ a ou b
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Réponses
Mets des dollars autour des expressions mathématiques. Exemple : $\$ $\cos(x)$\$ $ donne $\cos(x)$.
Etre inclus dans un fermé n'est pas incompatible avec être ouvert.
Edit : j'avais pas lu plus que ça désolé. Ca semble juste même si ce que j'ai dit au-dessus est valide. Ce n'est pas le fait que le cercle soit fermé qui importe vraiment.
Si tu voyais du côté de Cauchy-Riemann ?
Alors oui Cauchy Riemann me prouve c $\Rightarrow$ e
En fait ton exercice porte sur les conditions de dépendance très fortes en les coordonnées qu'être holomorphe implique.
Ceci est mis en forme sous le résultat général qu'est Cauchy-Riemann donc, en creusant un peu, il devrait tout résoudre.
J'aime bien ton utilisation du théorème de l'application ouverte cependant, même si c'est un peu bazooka.
D'autant que c'est souvent un exercice de début de semestre en analyse complexe, lorsqu'on n'a pas encore Cauchy et seulement les propriétés des fonctions dse et les (quelques) propriétés des fonctions holomorphes, encore bien cloisonnées.
Pas besoin de savoir que f est développable en série entière pour ça.