Étude d'une série
Bonsoir
Soit $n \in \N^{*}$ et $\alpha \in\, ]1,+\infty[$. Étudier la nature de la série de terme général : $$
u_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^{\alpha}}.
$$ On obtient l'encadrement : $\dfrac{1}{\alpha-1} \dfrac{1}{(n+1)^{\alpha-1}} \leq u_n \leq \dfrac{1}{\alpha-1} \dfrac{1}{n^{\alpha-1}}$
Mais je ne comprends pas la suite donné dans mon livre :
On en déduit que $\displaystyle\sum_{n \geq 1} u_n$ est de même nature que $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^{\alpha-1}}$
On a montré que : $u_n \sim \dfrac{1}{\alpha-1} \dfrac{1}{n^{\alpha-1}}$ mais je ne comprends l'histoire de la série de même nature $u_n$ étant déjà une somme infinie.
Soit $n \in \N^{*}$ et $\alpha \in\, ]1,+\infty[$. Étudier la nature de la série de terme général : $$
u_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^{\alpha}}.
$$ On obtient l'encadrement : $\dfrac{1}{\alpha-1} \dfrac{1}{(n+1)^{\alpha-1}} \leq u_n \leq \dfrac{1}{\alpha-1} \dfrac{1}{n^{\alpha-1}}$
Mais je ne comprends pas la suite donné dans mon livre :
On en déduit que $\displaystyle\sum_{n \geq 1} u_n$ est de même nature que $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^{\alpha-1}}$
On a montré que : $u_n \sim \dfrac{1}{\alpha-1} \dfrac{1}{n^{\alpha-1}}$ mais je ne comprends l'histoire de la série de même nature $u_n$ étant déjà une somme infinie.
Réponses
-
Que veut dire $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ sont de même nature ?
(on s'intéresse juste à la convergence)
(où $u_n\ge 0,v_n\ge 0$) -
Je n'ai pas compris.
-
Le théorème de comparaison part d'un encadrement sur les termes généraux des suites. Ici l'encadrement est sur la somme infinie donc je ne comprends pas.
-
Bonjour,
On a bien un encadrement sur les termes généraux des suites séries puisque $u_n$ est le terme général de $\sum u_n$ (la série qui nous intéresse). -
Non $u_n$ est une somme infinie par définition : $u_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^{\alpha}}$
-
La question était c’est quoi « être de même nature » pour deux séries ?
-
Comment ça non ? Quel est le terme général de $\sum u_n$ dans ce cas ? Peu importe sa définition, $(u_n)$ est une suite dont on peut considérer la série (et c'est ce qu'on fait ici).
-
« $(u_n)$ est une somme infinie »
Non, pour tout $n$ entier naturel non nul, $u_n$ est un nombre.
Donc $(u_n)$ est une suite.
« Le terme général de $u_n$ est $\frac{1}{n^{\alpha}}$. »
Non, le terme général de $(u_n)$ est la somme finie dépendante de $n$ introduite par l’énoncé. -
N'empêche que si on considère $(u_n)$ comme la série $\sum_{k\ge n+1}k^{-\alpha}$ (sens ?), le terme général de $u_n$ est $1/k^\alpha$...
-
Amatoué, tu remplaces les "$u_n$" écrits par OShine par des "$(u_n)$". Donc tu peux toujours critiquer ce qu'il dit, mais si tu changes le sens de ses phrases...
Par exemple le nombre $u_n$ (et pas la suite $(u_n)$) est bien défini par une somme infinie ; OShine avait juste là-dessus. -
J’ai changé certaines choses en effet, mais pas dans l’intention de « changer le sens de ses phrases ». Quel intérêt??
Il m’a tout simplement semblé que OShine faisait la confusion entre la convergence de la série de terme général $\sum v_n$, et la convergence de la série de terme général $v_n$. Peut-être que je me trompe Calli et qu’il ne fait pas la confusion mais permets-moi d’en douter. -
Concernant ton deuxième point Calli, voici la phrase suspecte de OShine:
« $u_n$ étant déjà une somme infinie ». J’ai l’impression que pour lui « somme infinie » signifie « non convergente »...
C’est pour cette raison que je préfère lui dire que cette somme infinie est convergente et sa somme est un nombre...fini.
Certes j’admets avoir joué avec les mots sur ce coup...:-)
Dans le cas contraire, je ne comprends pas ce qui pose problème à OShine. -
Amathoué a écrit:J’ai changé certaines choses en effet, mais pas dans l’intention de « changer le sens de ses phrases ». Quel intérêt??
J'ai jamais pensé qu'il y avait une intention malveillante.
En fait j'avais compris que "somme infinie / finie" désigne le nombre de termes, alors que pour toi ça désigne sa valeur (c'est le retour du quiproquo !). A partir de là, c'est normal qu'on réponde différemment.
Cordialement -
Autant(au temps, il paraît que les deux sont corrects) pour moi cher-ère Calli :-D
OShine, tu es toujours là?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres