Calcul sur les bornes sup et inf
dans Analyse
Bonsoir. Svp je cherche une indication sur le calcul de $\sigma$.
Merci bien.
Merci bien.
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Réponses
Le sup à l'intérieur se calcule à vue si tu es à l'aise avec la trigo (il faut penser le couple $(u_1,u_2)$ comme un couple $(\cos(\theta), \sin(\theta))$ et connaître la formule $\sin(a+b)$). Après en développant ce que tu as sous la racine carrée, ça se simplifie peut-être (sinon il y a toujours les th d'optimisation, et même si je n'ai pas fait le calcul de la racine carrée, il me semblerait qu'il y ait une solution "intuitive" - à vérifier en calculant la racine carrée)
car c'est un maximum atteint pour $u_{1}=u_{2}=\frac{1}{\sqrt 2}$..
Vous avez une idée sur le reste. Merci bien.
Du coup, puisque abdellatif semble s’être planté en recopiant(voir son second message où les coefficients sont plus sympas...), on a plutôt affaire à une banale minimisation sur un disque de rayon $p/3$...
Merci bien.
$\sigma=\inf _{\theta \in]-\pi,\pi]} \left|\frac{1}{3}p \cos(\theta)-3\right| + \left|\frac{1}{4}p \sin(\theta)-3\right|$
Merci infiniment.
\sigma=\inf _{\theta \in ]-\pi, \pi]} \left|\frac{1}{3} \rho \cos (\theta)-3\right|+\left|\frac{1}{4} \rho \sin (\theta)-3\right|,
$$ où $\ \rho>0$.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Bonsoir abdellatif,
1) C’est un peu n’importe quoi ce que tu écris avec le « maximum atteint » pour $u_{1}=u_{2}=\frac{1}{\sqrt 2}$...
2) Le sup de $|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}|$ est atteint lorsque les vecteurs sont colinéaires.
L’un des deux vivant sur le cercle unité, ce $\sup$ vaut la norme de l’autre.
3) En paraphrasant side, il te faut donc trouver un moyen de calculer la distance d’un point à une ellipse.
Peut-être en exploitant l’orthoptique..., donc demande de l’aide au forum « géométrie » ou alors demande à AD de déplacer ton fil.
http://www.spaceroots.org/documents/distance/distance-to-ellipse.pdf
et au aussi ce joli dessin:
Oui mais il a rechangé apparemment...
Merci bien.
A défaut de nous faire une figure, peux-tu nous définir ton disque par des équations ou inéquations et nous donner ta matrice par ses coefficients?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le disque est : $ D=\{ (x,y)\in \R^{2} \quad x^{2}+y^{2} \leqslant \rho^{2} \} $ et la matrice $ A=diag(1/3,1/4)$
Merci bien
Si c’était Diag(1/3;1/3), sais-tu ce que cela donnerait ?
Cordialement
Dom
mais la matrice n'est pas l'identité mais $A= diag(1/3 , 1/4)$
Merci bien
De manière intuitive : Ça rétrécie de 1/3 en abscisse et de 1/4 en ordonnée.
Moins prosaïque :
Si $(x,y)$ est un point du cercle, qu’est-ce qu’il devient avec cette transformation ?
Il suffit d’écrire cela comme un vecteur colonne et de lui appliquer la matrice.
Vraisemblablement, abdelatif fait référence à ce problème.
Il recherche donc un moyen de calculer la distance $d_p$ du point $A(-3,-3)$ à (l’intérieur de) l’ellipse dont l’équation homogène est:
$\frac{(x+3)^2}{16}+\frac{(y+3)^2}{9}=(\frac{p}{12})^2$, $p$ étant un réel strictement positif.
Il suppose bien sûr que $p$ est suffisamment petit, de sorte que $A$ soit extérieur à l’ellipse, l’autre cas ayant été trivialement résolu...
En effet, Si $\rho > 15 $ le point critique (9,12) est a l'intérieur, et l'inf est nul. la question en fait revient a calculer
$ \sigma =\inf \sqrt {(\frac{1}{3}y_{1}-3 )^{2}+( \frac{1}{4}y_{2}-3 )^{2} }$ sur le disque ( pour $\rho<15$.)
Merci bien
Comment on peut choisir $\rho >0$ de sorte que l'infinimum soit strictement positif. $$
\inf_{ y\in B_{\rho}} \sqrt{ (\tfrac{1}{3}y_{1}-3)^2+(\tfrac{1}{4}y_{\color{red}{2}}-3)^2}.
$$ Merci bien pour l'aide.
[Correction en rouge conformément à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1946628,1946670#msg-1946670 AD]
Je ne comprends pas la question. Mais la racine carrée n’est jamais nulle.
Merci bien pour votre aide.
Calculer : $$\inf_{ y\in B_{\rho}} \sqrt{ (\tfrac{1}{3}y_{1}-3)^2+(\tfrac{1}{4}y_{2}-3)^2},
$$ où $B_{\rho}$ est la boule fermée de rayon $\rho$.
Merci bien.
\sigma=\inf_{y \in Y} \sqrt{\left(\frac{1}{3} y_{1}-3\right)^{2}+\left(\frac{1}{4} y_{2}-3\right)^{2}},
$$ où $Y=B_{\delta}$ de $\R^2$.
Peut on avoir un résultat via Kuhn Tucker.
Merci bien.
Il y a aussi ce fil sur le même sujet. C'est étrange.
\sigma=\inf_{y \in Y} \sqrt{\left(\frac{1}{3} y_{1}-3\right)^{2}+\left(\frac{1}{4} y_{2}-3\right)^{2}},
$$ où $Y=B_{\delta}$ de $\R^2$.
Peut on avoir un résultat via Kuhn Tucker.
Merci bien.