Lemme de Zorn et boréliens

Quelques réflexions pour la 1) :
J'ai l'impression que ce n'est pas vraiment la relation d'ordre "naturelle" que l'on utiliserait pour le lemme de Zorn. En général je crois que c'est plutôt une relation du type $(C_i)_{i\in I}\leq (D_j)_{j\in J}$ si $I\subset J$ et $C_i= D_i$ pour tout $i\in I$. Le majorant serait alors obtenu en prenant l'union de tous les éléments de la chaîne.
Si l'on veut rester proche de ta relation d'ordre on peut peut-être faire marcher la preuve en remplaçant le $C_i \subset C'_i $ par $( C_i = C'_i$ ou $\lambda(C'_i\backslash C_i )>0)$. En faisant cela on limite la longueur de la chaîne parce que la somme non dénombrable de quantités strictement positives est infinie et que $A$ est de mesure finie. On aboutit donc à la conclusion que les chaînes sont au plus dénombrable et on peut donc conserver la dénombrabilité. Cet argument intervient aussi dans l'utilisation de la première relation d'ordre que j'ai donné.

Pour la 2) il y a une faute de frappe dans ton message je pense. Tu parles d'étendre le résultat aux boréliens de mesure nulle mais je pense que tu voulais en fait l'étendre au boréliens de mesure infinie. En tout cas il n'est pas difficile de trouver tes $A_n$ et $B_n$. Il existe un plus petit $r_1$ tel que $\lambda(A\cap ]-r_1,r_1[) = 1$ et un plus petit $s_1$ tel que $\lambda(B\cap]-s_1,s_1[) = 1$. On recommence avec les ensembles $A\cap(]-r_2;r_2[\backslash]-r_1;r_1[)$ et $B\cap(]-s_2;s_2[\backslash]-s_1;s_1[)$ etc...

D'où vient cet exercice ?

PS : Quelle est ta démonstration pour l'existence d'un borélien $C$ tel que ... ? J'ai une idée de démonstration en tête à base de convolution mais je me demande quelles sont les autres démonstrations possibles.

Je prend ma première relation d'ordre, la démo est à peu près la même pour ta relation d'ordre modifiée. Si la chaîne était non dénombrable alors le majorant contiendrait une quantité non dénombrable de boréliens $C_i$ de mesure non nulle, inclus dans $A$ et tous disjoints. On regarde tous les $C_i$ de mesure comprise entre $2^{-k} $ et $2^{-k-1}$, pour chaque entier $k\in \Z$. Puisque $\Z$ est dénombrable et que les $C_i$ sont en quantité non dénombrable il existe au moins un entier $k$ telle qu'on ait une infinité (non dénombrable en fait) de $C_i$ de mesure comprise entre $2^{-k}$ et $2^{-k-1}$. La mesure de $A$ est alors plus grande que $\sum_{j=1}^\infty 2^{-k-1} = +\infty$, ce qui est absurde.

Ok pour l'existence du $C$, c'est la même démonstration que j'avais en tête.

C'est un exercice d'un sacré niveau tout de même.

Suite à une autre discussion sur le forum :

On peut supposer $A$ et $B$ bornés (quitte à les découper et traiter morceau par morceau si besoin) et de mesure $1$. Comme les translater ne change rien on peut supposer $A, B \subset [-n;n]$. On regarde alors la fonction $\chi_{-A} * \chi_B$, elle est à support dans $[-2n;2n]$, continue, positive et d'intégrale $1$, on sait donc qu'il existe un point $x$ tel que $\chi_{-A} * \chi_B (x) = 1/4n$ et donc un borélien $C_1$ de mesure $m_1= 1/4n$ tel que $C_1\subset A$ et $C_1 + x_1 \subset B$. On recommence avec $A\backslash C_1$ et $B\backslash (C_1+x_1)$, cette fois ci on peut trouver un borélien satisfaisant aux mêmes propriétés et de mesure $m_2 = (1-m_1)^2/4n$. On recommence comme ça pour tout entier $n$ et on obtient une suite de Boréliens $C_n$ de mesure $m_n$ avec
\[
m_n = \frac{1}{4n}\left(1 - \sum_{k=1}^{n-1} m_k\right)^2.
\]
On peut donc se passer du lemme de Zorn à condition de démontrer que l'on a $\sum_{k=1}^\infty m_k = 1$ ce qui montre qu'on arrive bien à exhaustion de $A$. La suite $S_n = \sum_{k=1}^n m_k$ est croissante, notons $l$ sa limite et $a=1/4n$ pour simplifier. On a alors $S_{n+1} = S_n + a(1-S_n)^2$, par récurrence on voit facilement que $S_n\leq 1$ pour tout entier $n$. Supposons que $l$ soit strictement inférieur à $1$, pour $n$ assez grand on a $S_n$ proche de $l$ et $S_n+a(1-S_n)^2>l$ ce qui est absurde. C'est donc que $S_n$ tend vers $1$ et cela termine l'exercice.

Pour ce qui est de l'utilisation ou non de Zorn je n'ai pas de préférence. Les deux solutions me semblent d'une complexité similaire, celle utilisant le lemme de Zorn a le mérite de faire bosser les étudiants sur l'utilisation de ce lemme, l'autre démo à le mérite de montrer que Zorn n'est pas nécessaire ce qui est toujours une gymnastique amusante/instructive mais pas forcément d'utilité "pratique" dans un cadre ou on admet sans sourciller l'axiome du choix dans toute sa généralité.