Continuité application définie sur un produit
Bonsoir
Vous connaissez sûrement tous ce théorème.
Soient $f:E=\prod_{i\in I}E_i\longrightarrow F$ une application entre espaces topologiques et $a=(a_i)_{i\in I}\in E$.
Pour tout $i\in I$, on note $f_{a,i}:E_i\longrightarrow F$ la $i$-ième application partielle de $f$ en $a$. Alors $$
(f\text{ continue en }a)\implies(\forall i\in I,~ f_{a,i}\text{ continue en }a_i).
$$ Et la réciproque est fausse.
Comment est-ce que vous vous souvenez de la « bonne » implication de ce théorème ? À chaque fois, ce n'est pas immédiat pour moi et je dois regarder à nouveau le fameux contre-exemple $f(0,0)=(0,0)$ et $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ pour $(x,y)\neq (0,0)$ par écrit pour être sûr de ne pas dire de connerie, ce qui est je trouve assez fastidieux.
Je précise que ce n'est pas la démonstration de ce théorème qui me pose pas problème.
Vous connaissez sûrement tous ce théorème.
Soient $f:E=\prod_{i\in I}E_i\longrightarrow F$ une application entre espaces topologiques et $a=(a_i)_{i\in I}\in E$.
Pour tout $i\in I$, on note $f_{a,i}:E_i\longrightarrow F$ la $i$-ième application partielle de $f$ en $a$. Alors $$
(f\text{ continue en }a)\implies(\forall i\in I,~ f_{a,i}\text{ continue en }a_i).
$$ Et la réciproque est fausse.
Comment est-ce que vous vous souvenez de la « bonne » implication de ce théorème ? À chaque fois, ce n'est pas immédiat pour moi et je dois regarder à nouveau le fameux contre-exemple $f(0,0)=(0,0)$ et $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ pour $(x,y)\neq (0,0)$ par écrit pour être sûr de ne pas dire de connerie, ce qui est je trouve assez fastidieux.
Je précise que ce n'est pas la démonstration de ce théorème qui me pose pas problème.
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Réponses
Puisque la démonstration ne te pose de problème, veux-tu la partager ?
1. la fonction qui vaut $0$ sur les axes et $1$ partout ailleurs sera visiblement discontinue en $(0,0)$ bien que les applications partielles, qui sont nulles, soient continues.
2. prenons l'indicatrice de la parabole d'équation $y=x^2$ privée de son sommet. Cette fonction n'est pas continue en $(0,0)$, quoique continue selon toute direction en $(0,0)$ (elle est même Gateaux-différentiable car localement nulle sur chaque direction). Cet exemple est plus subtil que le premier (qui suffit à répondre à ton interrogation).
Moi c'est vraiment ce genre d'exemples qui m'a permis de comprendre les choses, plus encore que le cas des fractions rationnelles.
EDIT : correction de deux fautes de français grâce à un contributeur via mp, que je remercie.