Continuité application définie sur un produit

topopot · September 2019

Bonsoir
Vous connaissez sûrement tous ce théorème.

Soient $f:E=\prod_{i\in I}E_i\longrightarrow F$ une application entre espaces topologiques et $a=(a_i)_{i\in I}\in E$.
Pour tout $i\in I$, on note $f_{a,i}:E_i\longrightarrow F$ la $i$-ième application partielle de $f$ en $a$. Alors $$
(f\text{ continue en }a)\implies(\forall i\in I,~ f_{a,i}\text{ continue en }a_i).
$$ Et la réciproque est fausse.

Comment est-ce que vous vous souvenez de la « bonne » implication de ce théorème ? À chaque fois, ce n'est pas immédiat pour moi et je dois regarder à nouveau le fameux contre-exemple $f(0,0)=(0,0)$ et $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ pour $(x,y)\neq (0,0)$ par écrit pour être sûr de ne pas dire de connerie, ce qui est je trouve assez fastidieux.

Je précise que ce n'est pas la démonstration de ce théorème qui me pose pas problème.

gebrane · September 2019

Bonjour,
Puisque la démonstration ne te pose de problème, veux-tu la partager ?

topopot · September 2019

Supposons $f$ continue en $a$ et soit $i\in I$. On note $u_{a,i}:E_i\longrightarrow E, x\longmapsto (y_j)_{j\in I}$ avec $y_j=a_j$ si $j\neq i$ et $y_j=x$ si $j=i$, qui est continue car chacune de ses composantes est continue. De plus, $f_{a,i}=f\circ u_{a,i}$. Donc comme $u_{a,i}$ est continue en $a_i$ et $f$ est continue en $u_{a,i}(a_i)=a$, d'après le théorème de continuité d'une composée, $f_{a,i}$ est continue en $a_i$.

gebrane · September 2019

Maintenant je peux te répondre. Je me souviens en me disant "la composée de deux fonctions continues est continues"

Poirot · September 2019

Je trouve que c'est assez intuitivement évident que, ce n'est pas parce que $x \mapsto f(x,y_0)$ et $y \mapsto f(x_0, y)$ (pour tout $(x_0, y_0)$) sont continues dans "une direction", que $(x,y) \mapsto f(x,y)$ l'est avec toute la liberté de mouvement du couple de variable. En un sens, on aurait envie que la continuité soit suffisamment uniforme localement quand on fait bouger $x_0$ et $y_0$ pour que ça se transmette aux deux variables.

math2 · September 2019

Je trouve des contre-exemples encore plus parlants que le tien :

1. la fonction qui vaut $0$ sur les axes et $1$ partout ailleurs sera visiblement discontinue en $(0,0)$ bien que les applications partielles, qui sont nulles, soient continues.

2. prenons l'indicatrice de la parabole d'équation $y=x^2$ privée de son sommet. Cette fonction n'est pas continue en $(0,0)$, quoique continue selon toute direction en $(0,0)$ (elle est même Gateaux-différentiable car localement nulle sur chaque direction). Cet exemple est plus subtil que le premier (qui suffit à répondre à ton interrogation).

Moi c'est vraiment ce genre d'exemples qui m'a permis de comprendre les choses, plus encore que le cas des fractions rationnelles.

EDIT : correction de deux fautes de français grâce à un contributeur via mp, que je remercie.

topopot · September 2019

Merci pour vos visions de la chose :-)

Continuité application définie sur un produit

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