Une limite non triviale

zephir · May 2019

Bonsoir à tous,
Pour ceux qui aiment les casses-têtes chinois je propose cet exercice (vieux de 42 ans et posé pour la première fois) :
Pour $n\in \N^*, t\in [0,+\infty[$, on pose : $f_n(t) = e^{-t}\Big(1+\dfrac t n\Big)^n - e^{-\tfrac {t^2} {2n}}$

Soit la suite $(I_n)_{n\in \N^*}$ définie par la formule $I_n =\int_0^{+\infty}f_n(t)\,dt$

Pour $t$ fixé, $f_n(t)$ tend vers $1-1 = 0$ quand $n\to +\infty$.

Alors ma question est : est-ce que cette suite $I_n$ est bornée ? a-t-elle une limite quand $n\to +\infty$ ? Si oui, quel est cette limite ?

Bonne nuit.

Math Coss · May 2019

$2/3$.

Pablo_de_retour · May 2019

Bonjour,

Sauf erreur de ma part,
Voici ce que je propose de faire :

Soit $ n \geq 1 $ :
Soit $ t \geq 0 $ :
On a : $ | I_n | \leq \int_{0}^{ + \infty } \displaystyle \sup_{ t \in [ 0 , + \infty [ } | f_n (t) | dt $
Il reste à calculer : $ \displaystyle \sup_{ t \in [ 0 , + \infty [ } | f_n (t) | $ en traçant le tableau de variation.
Pour cela, on calcule : $ f_n ' (t) $ pour tout $ t \in [ 0 , + \infty [ $.
Moi j'ai trouvé que : $ \forall t \in [0 , + \infty [ $ : $ f_n ' (t) = \frac{t}{n} e^{ - \frac{t^{2}}{2n} } $.
Tu poursuis alors le reste du travail seul si tu veux. Moi, j'ai oublié comment on trouve le tableau de variation. ça fait longtemps que je ne fais pas d'analyse. (:P)

zephir · May 2019

@Math Coss : qu'est-ce qui te permet de dire que la limite existe et vaut $\dfrac 2 3$ ?As-tu une démonstration ?
Répond par oui ou non. Si oui, ne la donne pas encore.

JLT · May 2019

On pose $g_n(x)=\sqrt{n}f_n(x\sqrt{n})$. On a $I_n=\int_0^\infty g_n(x)\,dx$, et d'autre part $g_n(x)$ tend vers $\frac{1}{3}x^3e^{-\frac{x^2}{2}}$.

zephir · May 2019

Oui, JLT, et la domination ?

JLT · May 2019

Edit : ce qui suit est faux.

C'est dominé par $\frac{1}{3}x^3e^{-\frac{x^2}{2}}$.

zephir · May 2019

(tu) JLT. Ma solution est plus compliqué. Je me suis interdit le théorème de convergence dominé et je fais des intégrations par parties successives (deux). Il y a le $\dfrac 2 3$ qui sort + un machin qui tend vers zéro, sans qu'il soit besoin de le calculer complétement.
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué :-)

Cdt,
zephir.

raoul.S · May 2019

@zephir tu pourrais détailler un peu plus ta solution avec les deux intégrations par parties. Car moi aussi j'ai essayé par parties mais je n'ai pas réussi à simplifier.

zephir · May 2019

@JLT : Après réflexion, la domination ne marche pas bien, sauf erreur, pour $x$ grand. Donc, pour moi, retour au point de départ. Est-ce que ta domination est "au doigt mouillé" ou tu l'as réellement ?

JLT · May 2019

La domination marche réellement. J'utilise l'inégalité $\ln(1+y)\leqslant y-\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}$, qui est valable pour tout $y\geqslant 0$.

zephir · May 2019

En effet, c'est exact. J'ai déjà cette inégalité, mais elle m'était sorti de l'esprit. C'est bon. Merci.
@raoul.S : Franchement, cela m'em..de. Il y en a pour deux pages si on ne veut pas se tromper. Le principe est d'intégrer $exp(-t^2/2n).(-t/n)$ et de dériver le facteur qui reste, et cela deux fois. Il y a un 2/3 qui apparait en partie toute intégrée au deuxième coup et des trucs qui tendent vers zéro. C'est une organisation de calcul à faire.

zephir · May 2019

Ah JLT, pas encore, il y a une exponentielle pernicieuse qui perturbe encore, le log étant en exposant, il faudrait détailler un cran plus loin. Comment utilise-tu la majoration de $log(1+y)$ ?

zephir · May 2019

Suite : Après calcul, pour avoir la domination il faudrait avoir l'inégalité $e^y-1\le y$ .

Je recopie mes calculs .
$g_n(x)=\sqrt nf_n(x\sqrt n) =\sqrt n\Big[e^{-x\sqrt n}\Big(1+\dfrac {x\sqrt n} n\Big)^n - e^{\dfrac {-(x\sqrt n)^2} {2n}}\Big]$
$g_n(x)= \sqrt n\Big[e^{-x\sqrt n + n\,Log(1+\frac x {\sqrt n})} - e^{\dfrac {-x^2} 2}\Big]$
D'où, en utilisant l'inégalité du log :
$g_n(x)\le \sqrt n\Big[exp\Big({-x\sqrt n + n\,(\frac x {\sqrt n}-\frac {x^2} {2(\sqrt n)^2} +\frac {x^3}{3(\sqrt n)^3})}\Big) - exp({\frac {-x^2} 2})\Big] = exp({-\dfrac {x^2} 2}) \sqrt n \Big[exp\Big({\dfrac {x^3}{3\sqrt n} }\Big)- 1\Big]$

sauf erreur, bien entendu. J'ai mis des "exp" en dernière ligne pour être lisible.

raoul.S · May 2019

zephir a écrit:

@raoul.S : Franchement, cela m'em..de. Il y en a pour deux pages si on ne veut pas se tromper.

OK thx. Je pensais que c'était une histoire de quelques lignes.

zephir · May 2019

Oui mais il va falloir s'y mettre, ne serai-ce que pour vérifier.
Je m'y attelle et je reviens, mais ... pas tout de suite.

JLT · May 2019

Je me suis trompé dans ma domination. Je recommence. On a
$$g_n(x)=(e^{-x\sqrt{n}}(1+\frac{x}{\sqrt{n}})^n-e^{-x^2/2})\sqrt{n}.$$

Premier cas : $x\geqslant n^{1/2}$. Pour $t\geqslant 1$ on a $\ln(1+t)\leqslant t\ln(2)$ donc $(1+t)^n\leqslant e^{nt\ln 2}$, et donc $g_n(x)\leqslant e^{-x\sqrt{n}}(1+\frac{x}{\sqrt{n}})^n\sqrt{n}\leqslant e^{-x\sqrt{n}}(1+\frac{x}{\sqrt{n}})^n x\leqslant xe^{-(1-\ln 2)x\sqrt{n}}\leqslant xe^{-(1-\ln 2)x}$.

Deuxième cas : $n^{1/6}\leqslant x\leqslant n^{1/2}$. Alors $(1+\frac{x}{\sqrt{n}})^n\leqslant \exp(n(\frac{x}{\sqrt{n}}-\frac{x^2}{2n}+\frac{x^3}{3n\sqrt{n}}))$ donc
$e^{-x\sqrt{n}}(1+\frac{x}{\sqrt{n}})^n\leqslant\exp(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3\sqrt{n}})
=\exp(x^2(-\frac{1}{2}+\frac{x}{3\sqrt{n}}))
\leqslant \exp(-\frac{x^2}{6})$, donc $g_n(x)\leqslant \sqrt{n}\exp(-\frac{x^2}{6})\leqslant x^3\exp(-\frac{x^2}{6})$.

Troisième cas : $x\leqslant n^{1/6}$. Pour $0\leqslant t$ on a $\ln(1+t)\leqslant t-t^2/2+t^3/3$ donc $g_n(x)\leqslant e^{-x^2/2}(e^{\frac{x^3}{3\sqrt{n}}}-1)\sqrt{n}\leqslant e\frac{x^3}{3}e^{-x^2/2}$ en utilisant $e^t-1\leqslant et$ pour $t\leqslant 1$.

zephir · May 2019

Ta fonction dominante dépend de $n$ par son domaine de définition et çà, ce n'est pas bon.

JLT · May 2019

On a trois fonctions dominantes $h_1,h_2,h_3$ selon l'intervalle. Il suffit de prendre pour fonction dominante $h_1+h_2+h_3$.

zephir · May 2019

On coupe à $n^{2/3}$. Au dessus, les deux termes tendent vers $0$.
En dessous, on fait $nt = u$ et ... encadrement du logarithme. On a des deux côtés des intégrales sur l'intervalle $ [0,\dfrac 1 {s^{1/3}}]$ et ... çà marche, les deux côtés tendant vers $2/3$. A vérifier.