Fonction à support compact.

Instinctivement je dirais que c'est faux : D'une part rien ne dit que $I_n $ converge si elle est bornée, d'autre part je ne pense pas que $I_n $ soit bornée en général parce qu'on se dit que $f'$ doit varier bien plus que $f$ en général.

supp

Peut-être que je dis des bêtises mais :

si $K$ est le support de $k$ et qu'on prouve que $f\in L^{2}$ sur $K$ alors $1_K\cdot nf^{2}(nt)$ est une approximation de l'unité à une constante $C$ non nulle près et $\int^{\infty}_0| nk'(t)f(nt)|^2dt$ tend donc vers $C\cdot|k'(0)|$ tandis que $\int^{\infty}_0| nk(t)f(nt)|^2dt$ tend vers $C\cdot|k(0)|$. Par suite $$\lim_{n\to\infty} I_n = |k'(0)/k(0)|$$.

à voir...

$n\int_0^\infty |K(t) f(nt)|^2dt=\int_0^\infty |K(t/n) f(t)|^2dt $

Si $K$ est bornée et continue alors $K(t/n) \to K(0)$ localement uniformément et en restant uniformément bornée donc

$\int_0^\infty |K(t/n) f(t)|^2dt \to\int_0^\infty |K(0) f(t)|^2dt = |K(0)|^2 \|f\|_{L^2(0,\infty)}^2$

Edit : ici ça ne marche pas, $f$ n'est pas $L^2$ car $(t^2-1)^{-1/2} 1_{t > 1}$ n'est pas $L^2$.

@Goro98 reuns a répondu à la question que tu me posais en trouvant d'ailleurs une coquille dans ce que j'ai dit car $\int_0^\infty n|k'(t) f(nt)|^2dt$ converge vers $\|f\|^2 |k'(0)|^2$ et du coup on aurait : $$

\lim_{n\to\infty} I_n = |k'(0)|^2/|k(0)|^2.

$$ Mais mais mais toujours comme le dit reuns tout ceci n'est vrai que si $f\in L^2$ ce qui ne semble pas être le cas justement...

@reuns thx pour le développement, écrire en latex est une véritable souffrance pour moi

@side effectivement je n'avais pas fait gaffe au fait que $k(0)=k'(0) = 0$ :)o ... c'est le coup de grâce ::o

supp