Représentation d'un réel algébrique

johnsmoke
johnsmoke
dans Analyse
Bonjour à tout le monde,

Un réel algébrique $a$ est dit représenté par $(I_a, P_a)$ si $a \in I_a = ] c; d[$ avec $c < d \in \Bbb Q$, et si $P_a(a) = 0$ avec $P_a \in \Bbb Q[x]$ sans racines multiples et $a$ est le seul zéro réel de $P_a$ dans $I_a$.

Soit $a$ représenté par $(I_a, P_a)$.

Soit $F \in \Bbb Q[x,y]$. Trouver un algorithme qui permet de compter le nombre de zéros complexe de $F(a,y) $.

Soit $F,G \in \Bbb Q[x,y]$. Trouver un algorithme qui permet d'isoler les zéros réels du système ${ F(x,y) = 0, G(x,y) = 0 }$.

Trouver un algorithme signifie un processus en nombre fini d'étapes, et isoler les zéros signifie trouver un pavé contenant chaque zéro réel et aucun autre.

Je dispose entre autres de la règle des signes de Descartes et des résultats généraux sur les suites de Sturm.

J'ai du mal à dégager une stratégie. Merci pour toute aide utile.
Cordialement

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La première étape consiste à savoir si, étant donné un polynôme $R\in \mathbb Q[X]$, le $a$ représenté par $(I_a,P_a)$ est racine de $R$. Pour cela il suffit de vérifier si le pgcd de $P_a$ et $R$ a une racine dans $I_a$, ce que les suites de Sturm savent décider.
    Je te laisse continuer
  • johnsmoke
    johnsmoke
    Je suis d'accord. Je calcule $P = pgcd( P_a, R )$ par algorithme d'Euclide, puis je construis la suite de Sturm associée à $P$, puis j'évalue cette suite aux bornes $c$ puis $d$, et je fais alors la différence du nombre de changements de signes entre ces deux suites : par définition de $(I_a, P_a)$, soit cette différence est nulle et alors $a$ n'est pas un zéro de $R$, soit elle vaut 1 et $R(a) = 0$.

    Pour la deuxième question : si $(\alpha, \beta) \in \Bbb R^2$ est solution du système, $F(\alpha, y)$ est dans $\Bbb R[y]$ donc ta remarque peut-être utile. Je regarde de plus près.

    Merci.
  • johnsmoke
    johnsmoke
    Dans mes réflexions je suis dérangé par le fait que si $a$ est algébrique réel et si $F\in \Bbb Q[x,y]$, alors $F(a,y) $ n'est pas à coefficients rationnels.
  • reuns
    reuns
    $P_a(x) = \prod_{j=1}^n (x-a_j)$ alors $Q(y)=\prod_{j=1}^n F(a_j,y) \in \Bbb{Q}[y]$.

    Ses coefficients sont rationnels parce qu'ils sont des polynômes symétriques en les $a_j$, exprimables en fonction des polynômes symétriques élémentaires, c'est à dire les coefficients de $P_a$.

    Pour calculer $\prod_{j=1}^n F(a_j,y) \in \Bbb{Q}[y]$ tu peux soit modifier les polynômes pour qu'ils soient à coefficients entiers puis approximer les racines de $P_a$ et terminer par des $\lfloor 1/2+.\rfloor$,

    Soit utiliser le résultant.
  • johnsmoke
    johnsmoke
    Pour être sûr : $Q(y) = Res_{X}( P_\alpha(X), Q(X,Y) )$ ? Donc en fait $Q(Y)$ est un polynôme à coeffs rationnels qu' on peut calculer en un nombre fini d'étapes. A partir de là je sais conclure la question 1), et ça sent bon pour la 2.
  • johnsmoke
    johnsmoke
    Pour la première question.

    Soit $G(Y) = \prod_{j=1}^n F(a_j,Y) = Res_X( P_a(X), F(X,Y) ) \in \Bbb Q[Y]$. Puisque $F(a,Y)$ divise $ G(Y)$, ses zéro sont parmi ceux de $G(Y)$. Si je calcule $N = \deg\big( \frac{G}{pgcd(G,G')} \big)$, j'ai le nombre de racines complexes distinctes de $G(Y)$, parmi lesquelles sont les racines distinctes de $F(a,Y)$ que je cherche.
    Je me demande comment les distinguer ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonsoir,

    La première question était bien de compter le nombre de zéros complexes de $F(a,y)$ ? C'est-à-dire, déterminer le degré de $F(a,y)$ ? Pour cela il suffit de savoir si $a$ est ou non racine du coefficient dominant de $F$ (vu comme polynôme en $y$ à coefficients dans $\mathbb Q[x]$), puis du coefficient suivant etc.. Non ?
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