EVN des applications linéaires
Bonjour à tous
J'ai un peu de mal à comprendre un exemple d'application dans un cours de topologie sur les EVN.
Pour expliquer un peu le contexte, cet exemple vient après la définition de la continuité d'une application linéaire.
On apprend notamment que $||u||=\sup_{x \in {B(0,1)}}||ux||$
Voici l'exemple :
https://image.noelshack.com/fichiers/2019/02/3/1547045728-capture.png
Donc mon souci c'est que dans ce contexte, les vecteurs sont des fonctions, et je n'arrive pas à faire le lien entre $||u||=\sup_{x \in {B(0,1)}}||ux||$ et $|f(0)\leq||f||$. Je comprends bien que $f\rightarrow f(0)$ est une application linéaire mais c'est tout. Notamment pour appliquer la formule de la norme d'une application linéaire, on prend le sup en faisant varier les $x$ dans la boule unité fermée, mais dans le cas présent je ne vois pas bien ce que ça donne (les $x$ c'est quoi ici, des fonctions dont la norme maximale est 1 ? Si oui pour quelle norme ?) et surtout comment on aboutit à $|f(0)\leq||f||$ ...
Merci par avance pour un petit apport d'éclairage...
J'ai un peu de mal à comprendre un exemple d'application dans un cours de topologie sur les EVN.
Pour expliquer un peu le contexte, cet exemple vient après la définition de la continuité d'une application linéaire.
On apprend notamment que $||u||=\sup_{x \in {B(0,1)}}||ux||$
Voici l'exemple :
https://image.noelshack.com/fichiers/2019/02/3/1547045728-capture.png
Donc mon souci c'est que dans ce contexte, les vecteurs sont des fonctions, et je n'arrive pas à faire le lien entre $||u||=\sup_{x \in {B(0,1)}}||ux||$ et $|f(0)\leq||f||$. Je comprends bien que $f\rightarrow f(0)$ est une application linéaire mais c'est tout. Notamment pour appliquer la formule de la norme d'une application linéaire, on prend le sup en faisant varier les $x$ dans la boule unité fermée, mais dans le cas présent je ne vois pas bien ce que ça donne (les $x$ c'est quoi ici, des fonctions dont la norme maximale est 1 ? Si oui pour quelle norme ?) et surtout comment on aboutit à $|f(0)\leq||f||$ ...
Merci par avance pour un petit apport d'éclairage...
Réponses
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Appellons $\varphi : f \mapsto f(0)$. L'inégalité dont tu parles est $$||\varphi(f)||_{\mathbb R} \leq ||f||_E,$$ où la première norme est juste la valeur absolue sur $\mathbb R$, et la seconde est la norme sur $E$, qui est la norme infinie comme écrit dans le texte. Ainsi $\sup_{f \in B_E(0, 1)} ||\varphi(f)||_{\mathbb R} \leq 1,$ et ton application linéaire est bien continue.
Une autre manière de le voir est qu'un application linéaire $g : F \to G$ entre deux EVN est continue si et seulement s'il existe $M \geq 0$ tel que $$\forall x \in E, ||g(x)||_G \leq M ||x||_F.$$ Ici tu peux prendre $M=1$ (et c'est un bon exercice de montrer qu'aucun réel plus petit ne peut fonctionner). -
Bonjour
Les "vecteurs" sont ici les fonctions. La norme d'une fonction $f$ est $sup_{x\in[0,1]}f(x)$. La boule unité est $\{f|\ ||f||\leq 1\}$. Il est donc évident que $|f(0)|\leq ||f||.$
En retard! -
Merci à tous les deux.
Poirot, j'ai encore du mal à comprendre comment tu passe de là:
$||\varphi(f)||_{\mathbb R} \leq ||f||_E,$
A là :
$\sup_{f \in B_E(0, 1)} ||\varphi(f)||_{\mathbb R} \leq 1,$
Merci pour ta patience... -
Pour toute $f \in B_E(0, 1)$, on a (par définition !) $||f||_E \leq 1$. Pour ces $f$-ci, on a donc $||\varphi(f)||_{\mathbb R} \leq ||f||_E \leq 1$. La borne supérieure est donc bien $\leq 1$.
-
Merci pour ces compléments!
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Bonjour!
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