Formule intégrale de Cauchy

raboteux
raboteux
dans Analyse
Bonsoir à tous,

Voici un exercice d'application de la formule intégrale de Cauchy :

1545949487-capture.png

Je dois reconnaître que dans le corrigé du petit 2), ca va trop vite pour moi, je ne comprends pas d'où sort la première égalité (je suspecte qu'on utilise l'identité $(a+b)^4$ mais je ne comprends pas ce que deviennent les termes en $4a^3b$ et $4ab^3$ qui n'apparaissent pas.
Même chose à la conclusion, je ne comprends pas comment est obtenue la dernière majoration avec le coefficient 36 (en fait la transition entre l'avant dernière ligne et la dernière ligne m'est obscure).

Merci par avance à celui qui y verra plus clair que moi!

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    $z=a+i b, (a,b) \in \R^2$ et $z=0\implies a=0.$
    $a\geq 0, b\geq 0$ et $a\leq 6 \sqrt{b} \sqrt{a} \implies \sqrt{a} \leq 6 \sqrt{b}.$
  • Poirot
    Poirot
    Pour la première égalité, si tu développes $(p+iq)^4$ tu trouves $p^4+q^4-6p^2q^2 + i(4p^3q-4pq^3)$ et on prend la partie réelle ;-)

    Le $36$ à la fin vient du fait que, en notant $I$ l'intégrale portant sur $q$ et $J$ celle sur $p$, $$I \leq 6 I^{1/2} J^{1/2}$$ soit $$I^{1/2} \leq 6 J^{1/2},$$ puis en passant au carré on a bien $$I \leq 36 J.$$
  • raboteux
    raboteux
    Merci à tous !
    Pour éviter la création de multiples sujets, en voici un autre qui me créé des problèmes.

    1545989299-capture1.png

    1545989704-capture2.png

    Dans la correction de ce petit a)
    - ne manque-t-il pas un "+" dans la somme dans l'expression de $P(re^{ît})$ (troisième expression avant la fin) ?
    - quand on intègre $P(re^{ît})$ sur $[0,2\pi]$ je ne comprends pas d'où sort le facteur $e^{-it}$ qui apparaît et surtout je ne comprends pas non plus comment on relie cette intégrale au résultat ${\pi}ra_1$

    Merci par avance !
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Ma façon de t’aider est de te dire :
    - arrête d’essayer de comprendre !
    - fais les calculs et comprends !

    Donc fais les calculs, et comprends. Et ne lis pas les corrections sans avoir cherché.
  • Poirot
    Poirot
    Oui il manque un $+$. Il manque un $e^{-it}$ dans la première intégrale de la deuxième page. Le fait que ça vaille $\pi r a_1$ vient juste de l'orthogonalité des $t \mapsto e^{int}$.
  • raboteux
    raboteux
    Merci poirot!
  • raboteux
    raboteux
    Bonjour à tous
    Voici un exercice sur les zéros isolés.

    https://image.noelshack.com/fichiers/2018/52/6/1546074296-capture.png

    Pour le d), je ne suis pas sûr de bien comprendre la correction (qui tient sur une seule ligne et ne m'aide pas ...), je vois les choses d'une certaine manière mais je ne sais pas si mon raisonnement est juste.

    - Supposons qu'il existe $f(z)=\sin(\pi/2z)$ donc $f(1/n)=\sin(\pi n/2)$ , pour $n$ grand et passant d'une valeur paire à une valeur impaire, on a $f$ qui va osciller entre les valeurs $0$, $-1$ et $1$ pour des $z$ de plus en plus proches les uns des autres en module, donc comme $f$ est censé être holomorphe dès que $\lvert{z}\rvert<r$ à partir d'un certain rang $N$, cela va devenir incompatible avec la continuité de $f$ et donc son holomorphie dans le disque $D(0,r)$, donc cette fonction n'existe pas ...

    À voir si ce raisonnement est juste, mais en tout cas je ne sais pas relier cela à la théorie des zéros isolés qu'on est censé utiliser pour résoudre les exercices de ce chapitre...

    Merci par avance pour votre éclairage sur ce point !
  • Math Coss
    Math Coss
    C'est plus simple que ça : s'il existait une fonction $f$ holomorphe sur un ouvert contenant $0$, elle serait continue en $0$ et la suite $\bigl(f(1/n)\bigr)_{n\in\N^*}$ tendrait vers $f(0)$, alors que la suite $\bigl(\sin\frac{n\pi}{2}\bigr)_{n\in\N^*}$ n'a pas de limite.
  • raboteux
    raboteux
    Merci Math Coss! Très court mais beaucoup plus clair pour le même nombre de mots que le corrigé, du coup je comprends mieux!

    Je vois que j'avais bien capté l'idée de fond même si j'avais du mal à formaliser...
  • raboteux
    raboteux
    Une petite question sur une définition extraite du livre de Jean Francois Pabion.

    1546092693-pabion.png

    Pour la définition d'une fausse singularité, l'auteur parle d'un voisinage strict de $a_0$, or dans les autres livres, le terme employé est plutôt "voisinage épointé", cette dernière appellation est beaucoup plus claire pour moi que celle de voisinage strict pour laquelle j'ai du mal à trouver une définition ...

    S'agit-il au final de la même notion ou rien à voir ?
    Merci.
  • Math Coss
    Math Coss
    Je ne vois pas bien ce que ça pourrait être d'autre. On trouve le terme employé par Robert Ferréol et aussi ici (mais l'autorité de l'auteur n'est pas garantie).
  • raboteux
    raboteux
    Merci pour ton aide. Par déduction j'en arrive a la même conclusion.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 12

AmadouCongruGot66Poirot +8 Invités