Compositions fonctions localement intégrables

KamalPhd
KamalPhd
dans Analyse
Bonjour tout le monde, j'espère que vous êtes bien.

J'ai une question concernant la composition de deux fonctions localement intégrables. Je sais qu'en général que la composition de deux fonctions localement intégrables n'est pas une fonction localement intégrable (il y a des contre-exemples dans ce champs là).
Ma question c'est : quand la composée est vérifiée ? C-à-d si F est localement intégrable et si G une autre fonction (hypothèse à remettre sur G) quand FoG est Loc.Integ ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Tryss
    Tryss
    Si $F(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|}}$, alors on voit qu'une fonction aussi sympathique que $G(x) = x^2$ ne va pas marcher.

    Bref, j'ai l'impression que dès que $G$ n'est pas constante par morceaux, on peut construire un $F$ localement intégrable tel que $F\circ G$ n'est pas localement intégrable.
  • aléa
    aléa
    En général, les fonctions sont continues et la composée de deux fonctions continues est continue, donc localement intégrable...:-)
  • mojojojo
    mojojojo
    En dehors de l'intégrabilité il y a aussi un problème de mesurabilité qui peut survenir.

    Par exemple, la composée de deux fonctions Lebesgue mesurables n'est pas forcément Lebesgue mesurable. Mais comme tu ne précises pas quel type d'intégrale tu considères...
  • KamalPhd
    KamalPhd
    Merci Trys pour la réponse.

    C'est en fait le contre-exemple ce que j'ai trouvé. Ta remarque est très logique ce que je vois moi aussi. Au contraire, si on ajoute des conditions supplémentaires sur le F on peut trouver le résultat (avec G juste localement intégrable). Par exemple si F est au plus affine i.e., |F(x)| =< a|x|+b (a,b >= 0).

    Merci encore.
  • KamalPhd
    KamalPhd
    Pour mojojojo,
    je pense que la composée de deux fonctions intégrables est toujours intégrable. Je parle de l'intégrale au sens de Lebesgue.

    Merci
  • KamalPhd
    KamalPhd
    Pour aléa,

    Il faut préciser les intervalles de continuité et d'intégrabilité. La fonction F dans le contre-exemple est définie sur ]0,1]. La composée n'est pas intégrable sur ]0,1] (ou [0,1] car c'est presque partout).

    Merci.
  • Poirot
    Poirot
    @KamalPhd : c'est un sujet qui a déjà beaucoup été discuté sur le forum. mojojojo a raison, la composée de deux fonctions Lebesgue-mesurables peut ne pas être Lebesgue-mesurable. En effet, la définition de mesurabilité au sens de Lebesgue pour une fonction $f : \mathbb R \to \mathbb R$ est que $f^{-1}(O)$ soit dans la tribu de Lebesgue pour tout ouvert $O$ de $\mathbb R$, ce qui est bien moins restrictif que de demander que l'image réciproque de n'importe quel lebesguien soit lebesguien.
  • mojojojo
    mojojojo
    KamalPhd, la composée de deux fonctions Lebesgue mesurable n'est pas toujours Lebesgue mesurable, je ne parle pas d'intégrabilité et ce n'est pas une question que je te pose, il s'agit d'un résultat connu. Pour contourner le problème on peut se restreindre aux fonctions boréliennes, dont la composée est toujours borélienne.

    Ensuite pour l'intégrabilité je te propose de regarder la composition $g \circ f$ où $f(x) =\frac {1}{ x^2} \mathbb 1_{[1;+\infty[} (x)$ et $g(x) = \mathbb 1_{[0;1]}(x)\sqrt x$.
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