Si $<f,f>\,=\,<g,h>$ a-t-on g=h ?

Zakariyae
Zakariyae
dans Analyse
Salut à tous,
Sur l'espace $L^2(\mathbb R)$ muni de son produit scalaire $\left<.,.\right>$ on suppose qu'on a cette égalité $$\left<f,f\right>=\left<g,h\right>$$ pour certaines fonctions $f, g$ et $h$ dans $L^2(\mathbb R)$. Est-ce qu'on peut conclure qu'on a nécessairement: $g=h$ ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Eric
    Eric
    Prends $g$ et $h$ orthogonales et $f=0$.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    $g=2 u, h=3 u$ on a $<g,h> = 6 <u,u>$ et $f = \sqrt{6} u$...
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Oui oui merci beaucoup (tu)
  • Poirot
    Poirot
    Tu crois déjà que c'est vrai dans $\mathbb R$ ? Si on a $a^2=bc$ alors $b=c$ ?
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Bonjour à tous,
    On a $\left<.,.\right>$ sur l'espace $L^2(\mathbb R)$ est une ne forme hermitienne, par suite si $\left<f,f\right>=\left<g,h\right>$ on a nécessairement $g=h$ car $\left<f,f\right>$ est un nombre réel, si on suppose de plus que $f,g$ et $h$ sont toutes non nulles ??
    Ou bien il y a quelque chose !!
  • Eric
    Eric
    As-tu lu les trois commentaires précédents ? ...
  • mojojojo
    mojojojo
    Petit commentaire en passant : c'est vrai si l'espace est réel et si l'on rajoute l'hypothèse $\|f\|=\|g\|=\|h\|$ (il s'agit des cas d'égalité de Cauchy-Schwarz).
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Ok le résultat est loin d'etre vrai. Merci (tu)
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