Fonctions sur $ S^2$ et $\R P^2$
Je n'avais pas le place pour le titre complet : lien entre $C^0(S^2)$ et $C^0(\R P^2)$.
$S^2$ désigne la sphère unité dans $\R^3$, et $\R P^2 $ l'ensemble des droites de $\R^3$ passant par l'origine (le plan projectif réel).
Une petite question pour commencer : Soit $f\in C^0(\mathbf S^2)$ une fonction à valeurs réelles telle que l'intégrale de $f$ sur chaque grand cercle de $S^2$ soit nulle, est-ce que cela implique $f=0$ ?
De façon plus générale on peut identifier l'ensemble des grands cercles de $S^2$ avec $\R P^2$. Voici comment on fait pour le voir : à un grand cercle on associe l'unique plan vectoriel de $\R^3$ contenant ce grand cercle, à ce plan on associe l'unique droite vectorielle normale à ce plan. On vérifie que ces associations sont bijectives et même des homéomorphismes et voilà. Notons $\psi $ cet homéomorphisme, si $f\in C^0$ on peut alors définir une fonction continue $\Psi(f) : \R P^2 \to \R$ par
\[
\Psi(f)(x)=\frac{1}{2\pi} \int_{\{t\in\psi^{-1}(x)\}}f(t) \mathrm d t.
\]
Notons que $\Psi$ est linéaire, ma première question revient donc à se demander si $\Psi$ est injective. On peut aussi se demander si elle est surjective. Si la réponse aux deux question précédentes est vraie et puisque $\Psi$ est continue alors $\Psi$ est un homéomorphisme par un théorème de Banach (on met la norme infinie sur les deux espaces).
Je n'ai pas vraiment réfléchi aux questions que je pose, peut-être que c'est compliqué peut-être que c'est trivial. En tout cas je me suis dis que ça pourrait en intéresser certains d'entre vous.
Edit : L'homéomorphisme $\psi$ va des grands cercles de $S^2$ dans $\mathbf R P^2$, pas de $S^2$ dans $\R P^2$ comme j'avais écrit au départ.
$S^2$ désigne la sphère unité dans $\R^3$, et $\R P^2 $ l'ensemble des droites de $\R^3$ passant par l'origine (le plan projectif réel).
Une petite question pour commencer : Soit $f\in C^0(\mathbf S^2)$ une fonction à valeurs réelles telle que l'intégrale de $f$ sur chaque grand cercle de $S^2$ soit nulle, est-ce que cela implique $f=0$ ?
De façon plus générale on peut identifier l'ensemble des grands cercles de $S^2$ avec $\R P^2$. Voici comment on fait pour le voir : à un grand cercle on associe l'unique plan vectoriel de $\R^3$ contenant ce grand cercle, à ce plan on associe l'unique droite vectorielle normale à ce plan. On vérifie que ces associations sont bijectives et même des homéomorphismes et voilà. Notons $\psi $ cet homéomorphisme, si $f\in C^0$ on peut alors définir une fonction continue $\Psi(f) : \R P^2 \to \R$ par
\[
\Psi(f)(x)=\frac{1}{2\pi} \int_{\{t\in\psi^{-1}(x)\}}f(t) \mathrm d t.
\]
Notons que $\Psi$ est linéaire, ma première question revient donc à se demander si $\Psi$ est injective. On peut aussi se demander si elle est surjective. Si la réponse aux deux question précédentes est vraie et puisque $\Psi$ est continue alors $\Psi$ est un homéomorphisme par un théorème de Banach (on met la norme infinie sur les deux espaces).
Je n'ai pas vraiment réfléchi aux questions que je pose, peut-être que c'est compliqué peut-être que c'est trivial. En tout cas je me suis dis que ça pourrait en intéresser certains d'entre vous.
Edit : L'homéomorphisme $\psi$ va des grands cercles de $S^2$ dans $\mathbf R P^2$, pas de $S^2$ dans $\R P^2$ comme j'avais écrit au départ.
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Réponses
De mon côté j'ai cherché et... je n'ai quasiment rien trouvé ! Je retranscrit ici ce que j'ai essayé, à part soulever de nouvelles questions ça n'avance pas énormément.
Je m'intéresse pour l'instant uniquement à la première question, qui s’énonce simplement : si toutes les moyennes de $f$ sur les grands cercles sont nulles est-ce que $f$ est nulle ?
Pour simplifier je commence par supposer que $f$ est gentille, disons de classe $ C^1$, ou plus, au besoin. Prenons un grand cercle, disons l'équateur, que j'appelle $C$. Prenons une droite $d$ qui passe par l'origine et qui intersecte $C$. On note $\theta_t$ la rotation d'axe $d$ et d'angle $t$, par hypothèse $\int_{\theta_t C} f(s)\mathrm ds =0$ pour tout $t$. On dérive par rapport à $t$ et pour $t=0$ on trouve
\[
\int_C \partial_n f(s) g(s) \mathrm ds =0
\]
où $\partial_n f$ est la dérivée normale de $f$ (la dérivée de $f$ le long d'un vecteur pointant vers le pôle nord) et $g$ est une fonction qui décrit la vitesse à laquelle les cercles $C$ et $\theta_t C$ s'écartent en $t=0$. Je ne me suis pas amusé à calculer $g$ mais elle a le même "profil" que la fonction sinus. On peut maintenant répéter le même processus avec n'importe quelle autre droite passant par l'origine et intersectant $C$, on va alors trouver
\[
\int_C \partial_n f(s) g(s-a) \mathrm ds = 0
\]
où $a$ appartient à $C$. Il faut interpréter $s-a$ comme lorsque l'on additionne deux nombres de $\R/2\pi\Z$. En d'autres termes on a
\[
g*\partial_nf_{|C} =0
\]
où $*$ désigne le produit de convolution. J'aurais bien aimé en déduire que $\partial_nf$ était constante sur $C$, mais je n'ai pas encore trouvé comment. Même en admettant que j'arrive à montrer ce résultat je ne suis pas sûr que ça permette d'aboutir, une information sur la dérivée radiale aurait été plus utile. Je n'ai pour le moment aucune idée de comment attaquer le cas $f\in C^0$.
En tout cas ça soulève une question : soit $h\in L^2(\R/2\pi\Z)$ telle que $\langle h , \sin(\cdot-a)\rangle_{L^2} = 0$ pour tout $a\in \R/2\pi\Z $, est-ce que $h$ est constante ? Même question en remplaçant $\sin$ par une fonction ayant "même profil".
J'étais persuadé que seul la fonction nulle avait cette propriété. Merci en tout cas !
EDIT : en fait maintenant que j'y pense le noyau de mon application doit être l'ensemble des fonctions impaires.