Injective et continue implique monotone

Bonsoir.
Je voudrais intervenir sur les démonstrations disponibles de ce théorème, les plus élémentaires possible.Si $I$ est un intervalle de $\mathbb R$, une application $f$ injective et continue de $I$ dans $\mathbb R$ est strictement monotone.Démonstration 1, passant par $\mathbb R^2$.
Lemme. Si $K$ est un convexe de $\mathbb R^2$ et $\phi$ une application continue de $K$ dans $\mathbb R$, alors l'ensemble-image $\phi(K)$ est un intervalle de $\mathbb R$.
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Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, et soit une application $f$ injective et continue de $I$ dans $\mathbb R$.
L'ensemble $K=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\mid x\in I,y\in I,x<y\}$ est un convexe de $\mathbb R^2$, et l'application de $K$ dans $\mathbb R$ définie par $\phi : (x,y) \mapsto f(x)-f(y)$ est une application continue de $K$ dans $\mathbb R$. Son ensemble-image est donc un intervalle de $ \mathbb R$, et à cause de l'l'injectivité, cet intervalle ne contient pas $0$. Etc.
Démonstration 2, restant dans $\mathbb R$.
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, et soit une application $f$ injective et continue de $I$ dans $\mathbb R$. Pour $x \in I, y\in I, x \neq y$, on pose : $T(x,y)=$${f(x)-f(y)} \over {x-y}$, et l'on montre avec plusieurs cas que ce réel conserve un signe constant. Démonstration laborieuse que je ne détaille pas.
J'ai retrouvé dans mes archives une démonstration qui évite les inconvénients des deux précédentes et que je présenterai dans mon prochain message.
Fr. Ch.
05/09/2018