Hypothèses du théorème de dérivation

Bonjour,
je révise l'écrit de l'agreg interne et plus particulièrement les intégrales à paramètre.
Je distingue le cas des intégrales où le paramètre est dans un segment de celui où il est dans un intervalle ouvert.
Pour ces dernières, selon mes livres (Dantzer, Monasse, Tout en Un Dunod), les hypothèses du théorème de dérivation sous le signe somme, ne sont jamais les mêmes et cela me perturbe.
Je me doute que certaines sont plus faibles que d'autres, alors d'après vos expériences, lesquelles prendre ?
Pour ma part, pour l'instant, je me suis arrêté à :
Soit $f : I \times J \rightarrow \mathbb{C},\ (t,x) \mapsto f(t,x)$ où $I$ et $J$ sont deux intervalles ouverts de $\mathbb{R}$.
Si
(1) $\forall x \in J,\ t \mapsto f(t,x)$ est intégrable sur $I$
(2) $\forall t \in I,\ \forall x \in J,\ \dfrac{\partial f}{\partial x}(t,x)$ existe et $\forall t \in I,\ x \mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(t,x)$ est continue sur $J$
(3) $\exists \varphi : I \rightarrow \mathbb{R}^+$ intégrable sur $I$ telle que : $\forall t \in I,\ \forall x \in J,\ \Big|\dfrac{\partial f}{\partial x}(t,x)\Big| \leqslant \varphi(t)$

Qu'en pensez vous ? Merci.