Produit de Cauchy

Dans la deuxième somme, on a fixé $k$ et $i$ varie de $0$ à $k$ : comment $k-i$ pourrait-il être négatif ?

Écris tranquillement cette deuxième somme $\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}$ pour $k=0$, $k=1$, $k=2$, $k=3$... Regarde le diagramme suivant : le coefficient $a_ib_j$ est placé en coordonnées $(i,j)$ ; l'entier $k$ code la diagonale ; la somme $\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}$ est la somme des termes placés sur la diagonale n° $k$.
\[\xymatrix{a_0b_5\ar@{-}[dr]&\ddots\ar@{-}[dr]&\ddots\ar@{-}[dr]&\\
a_0b_4\ar@{-}[dr]&a_1b_4\ar@{-}[dr]&a_2b_4\ar@{-}[dr]&a_3b_4\ar@{-}[dr]\\
a_0b_3\ar@{-}[dr]&a_1b_3\ar@{-}[dr]&a_2b_3\ar@{-}[dr]&a_3b_3\ar@{-}[dr]&\ddots\\
a_0b_2\ar@{-}[dr]&a_1b_2\ar@{-}[dr]&a_2b_2\ar@{-}[dr]&a_3b_2\ar@{-}[dr]&a_4b_2\ar@{-}[dr]\\
a_0b_1\ar@{-}[dr]&a_1b_1\ar@{-}[dr]&a_2b_1\ar@{-}[dr]&a_3b_1\ar@{-}[dr]&a_4b_1\ar@{-}[dr]&a_5b_1\ar@{-}[dr]\\
a_0b_0&a_1b_0&a_2b_0&a_3b_2&a_4b_0&a_4b_0&\ddots&}\]Visuellement, il doit être évident qu'au moins formellement, $\sum_{i\ge0}\sum_{j\ge0}a_ib_j=\sum_{k\ge0}\sum_{i=0}^{k-i}a_ib_{k-i}$, non ? On fait la somme de tous les termes $a_ib_j$ qui apparaissent sur le quadrant mais dans deux ordres différents : dans un cas, on fait la somme sur chaque colonne ($\sum_{j}$) puis on ajoute toutes les sommes par colonne ($\sum_i$) ; dans l'autre, on fait la somme sur chaque diagonale ($\sum_{i=0}^{k-i}$) puis on ajoute toutes les sommes par diagonale ($\sum_k$).

@raboteux : l'indice des $a$ varie de $k$ à $0$ en diminuant de $1$ en $1$ ; pendant ce temps, l'indice des $b$ varie de $0$ à $k$ en augmentant de $1$ en $1$ : comment on pourrait tomber dans les négatifs ?

La troisième expression (qui est dans la deuxième ligne) ne correspond pas du tout à la précédente ! Comme dit ci-dessus par skyffer3, tu interprètes mal les points de suspension dans la deuxième expression $a_0b_k+\cdots+a_kb_0$, ils ne veulent pas dire qu'il y a une infinité de termes mais $k+1$ termes (correspondant aux valeurs de $i$ entre $0$ et $k$).

Pour $k=2$, que vaut $a_kb_0$ ? $a_{k-1}b_1$ ? $a_{k-2}b_2$ ? etc. ?
Mêmes questions pour $k=3$ ; pour $k=4$ ; pour $k=1$ ; pour $k=0$.

Il te serait peut-être plus facile de remplacer $k$ par $0$, $1$, $2$, etc. dans $\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}$.
Je le fais pour $k=0$ : $\sum_{i=0}^0a_ib_{0-i}=a_0b_0$ (la variable $i$ prend une seule valeur).
Pourrais-tu faire les valeurs $1$, $2$, $3$, $4$ de $k$ ?