Produit de Cauchy
Bonjour à tous
Voilà, j'ai un problème de compréhension de la formule du produit de Cauchy, je vous explique mon dilemme car il y a sûrement quelque chose que j’interprète mal.
$\sum_{k=0}^{\infty}(\sum_{i=0}^{k} (a_ib_{k-i}))=\sum_{k=0}^{\infty}(a_0b_k+a_1b_{k-1}+a_2b_{k-2}+\cdots+a_kb_0)$
Seulement, ce qui me chagrine : maintenant qu'il faut exécuter le deuxième somme sur l'indice $k$ (celle que je n'ai pas développé ci dessus), on va se retrouver avec des $b_{-1}$, $b_{-2}$, ce qui me fait dire que je m'y prends mal...
Merci par avance.
[Même et surtout dans le titre Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) prend une majuscule. AD]
Voilà, j'ai un problème de compréhension de la formule du produit de Cauchy, je vous explique mon dilemme car il y a sûrement quelque chose que j’interprète mal.
$\sum_{k=0}^{\infty}(\sum_{i=0}^{k} (a_ib_{k-i}))=\sum_{k=0}^{\infty}(a_0b_k+a_1b_{k-1}+a_2b_{k-2}+\cdots+a_kb_0)$
Seulement, ce qui me chagrine : maintenant qu'il faut exécuter le deuxième somme sur l'indice $k$ (celle que je n'ai pas développé ci dessus), on va se retrouver avec des $b_{-1}$, $b_{-2}$, ce qui me fait dire que je m'y prends mal...
Merci par avance.
[Même et surtout dans le titre Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) prend une majuscule. AD]
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Réponses
Écris tranquillement cette deuxième somme $\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}$ pour $k=0$, $k=1$, $k=2$, $k=3$... Regarde le diagramme suivant : le coefficient $a_ib_j$ est placé en coordonnées $(i,j)$ ; l'entier $k$ code la diagonale ; la somme $\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}$ est la somme des termes placés sur la diagonale n° $k$.
\[\xymatrix{a_0b_5\ar@{-}[dr]&\ddots\ar@{-}[dr]&\ddots\ar@{-}[dr]&\\
a_0b_4\ar@{-}[dr]&a_1b_4\ar@{-}[dr]&a_2b_4\ar@{-}[dr]&a_3b_4\ar@{-}[dr]\\
a_0b_3\ar@{-}[dr]&a_1b_3\ar@{-}[dr]&a_2b_3\ar@{-}[dr]&a_3b_3\ar@{-}[dr]&\ddots\\
a_0b_2\ar@{-}[dr]&a_1b_2\ar@{-}[dr]&a_2b_2\ar@{-}[dr]&a_3b_2\ar@{-}[dr]&a_4b_2\ar@{-}[dr]\\
a_0b_1\ar@{-}[dr]&a_1b_1\ar@{-}[dr]&a_2b_1\ar@{-}[dr]&a_3b_1\ar@{-}[dr]&a_4b_1\ar@{-}[dr]&a_5b_1\ar@{-}[dr]\\
a_0b_0&a_1b_0&a_2b_0&a_3b_2&a_4b_0&a_4b_0&\ddots&}\]Visuellement, il doit être évident qu'au moins formellement, $\sum_{i\ge0}\sum_{j\ge0}a_ib_j=\sum_{k\ge0}\sum_{i=0}^{k-i}a_ib_{k-i}$, non ? On fait la somme de tous les termes $a_ib_j$ qui apparaissent sur le quadrant mais dans deux ordres différents : dans un cas, on fait la somme sur chaque colonne ($\sum_{j}$) puis on ajoute toutes les sommes par colonne ($\sum_i$) ; dans l'autre, on fait la somme sur chaque diagonale ($\sum_{i=0}^{k-i}$) puis on ajoute toutes les sommes par diagonale ($\sum_k$).
Merci pour ton aide.
Pour ta suggestion, en fait, il faudrait sommer de la droite vers la gauche comme ceci ??
$\sum_{k=0}^{\infty}\big(\sum_{i=0}^{k} (a_ib_{k-i})\big)=\sum_{k=0}^{\infty}(a_kb_0+a_{k-1}b_{1}+a_{k-2}{b_2}+\cdots+a_0b_k)$
Mais je crois que je n'ai pas dû bien comprendre le sens de ton propos car on se retrouve avec le même problème...
En supposant que ce qui est entre parenthèse dans mon premier post est bien exécuté (le résultat de la somme de droite),si j'exécute alors la somme de gauche, j'obtiens :
> $\sum_{k=0}^{\infty}(\sum_{i=0}^{k} (a_ib_{k-i}))=\sum_{k=0}^{\infty}(a_0b_k+a_1b_{k-1}+a_2b_{k-2}+\cdots+a_kb_0)$
$=(a_0b_0+a_1b_{0-1}+a_2b_{0-2}+....)+(a_0b_1+a_1b_{1-1}+a_2b_{1-2}+....)+(a_0b_2+a_1b_{2-1}+a_2b_{2-2}+....)+.....$
Je pense que je comprends mal ces sommes imbriquées, reste à cerner mon erreur de raisonnement...
Pour $k=2$, que vaut $a_kb_0$ ? $a_{k-1}b_1$ ? $a_{k-2}b_2$ ? etc. ?
Mêmes questions pour $k=3$ ; pour $k=4$ ; pour $k=1$ ; pour $k=0$.
Il te serait peut-être plus facile de remplacer $k$ par $0$, $1$, $2$, etc. dans $\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}$.
Je le fais pour $k=0$ : $\sum_{i=0}^0a_ib_{0-i}=a_0b_0$ (la variable $i$ prend une seule valeur).
Pourrais-tu faire les valeurs $1$, $2$, $3$, $4$ de $k$ ?
$\sum_{k=0}^{\infty}\big(\sum_{i=0}^{k} (a_ib_{k-i})\big)=(a_0b_0+a_0b_1+a_1b_0+a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0+\ldots)$
En fait mon soucis est que je n'avais pas compris comment la borne haute de la somme de droite interagissait avec la somme de gauche...
\[\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{k} a_ib_{k-i}=\underbrace{a_0b_0}_{k=0}+
\underbrace{a_0b_1+a_1b_0}_{k=1}+\underbrace{a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0}_{k=2}+
\underbrace{a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1+a_3b_0}_{k=3}+\cdots\](cf. le dessin ci-dessus).