primitive

Je suis très amusé par la justification de l'existence de F(x) : F(x) existe parce que c'est l'aire ... ; Au fait, c'est quoi, l'aire ?
On a mis la poussière sous le tapis !

Cordialement.

Moi, je n'avais pas osé !!

Mais effectivement, cette définition circulaire est de plus en plus utilisée; au lieu de dire clairement qu'il existe des méthodes mathématiques (les différentes notions d'intégrales qu'on rencontre en supérieur) solide pour justifier l'existence de ces intégrales, et qu'on se contente de définitions intuitives (utilisées d'ailleurs largement par les mathématiciens du dix-huitième siècle). Et de bien clarifier ce qui est admis (à partir de l'intuition) et ce qui est démontré (à partir de ce qui a été admis).
Pauvres lycéens !

Cordialement.

Tout à fait. C'est une version du théorème fondamental de l'analyse. L’hypothèse de signe n'a aucune utilité ici.

Bonjour Magnéthorax.

Si tu relis ce que je disais, tu verras que je sui d'accord avec toi. Ce qui me semble dommageable est de présenter des raisonnement heuristiques comme des preuves mathématiques.
A l'époque où j'enseignais en terminale C, on avait certaines parties qui posaient ce genre de problème (existence des primitives pour les fonctions continues, notation exponentielle des complexes, certaines propriétés géométriques, ...). Je prenais le temps de présenter des raisons de ces propriétés ou notation, puis renvoyais la justification rigoureuse à plus tard dans leurs études. Ce qui ne posait pas de problème.

Cordialement.

Je trouve bien l'approche par les aires en terminale S. Plutôt qu'une définition d'emblée avec les primitives

Cela permet de faire des trucs sympas, comme le calcul de l'intégrale de la fonction carrée entre 0 et 1, avec les rectangles inférieurs et supérieurs, sans connaître encore la formule avec les primitives. C'est aussi l'occasion de programmer un algorithme pas trop con.

gerard0,

c'est ce qu'on fait tout le temps : une proposition n'est vraie que dans un système d'axiomes donné. Par qui pardi ?

Au collège et au lycée, on peut, en le disant aux élèves, l'"enrichir" de ce qu'on estime avoir besoin car sinon on est rapidement face à deux impasses :

1. Tout admettre sans rien démontrer.
2. Tout démontrer sans rien admettre.

Aménager le système d'axiomes (qui de toute façon n'est jamais explicité) pour conserver au maximum une approche hypothético-déductive me paraît plus raisonnable que ces deux attitudes.

As-tu déjà démontré l'existence au collège/au lycée de :

- la racine carrée
- la fonction exponentielle
- la fonction cosinus
- ...

?

Moi non.

Encore une fois, la présentation du document initial ne me convient pas : ce n'est pas une preuve car les pré-requis ne sont pas dégagés au préalable. Mais on peut l'amender comme je le propose pour lui donner un statut de démonstration acceptable.

Tu le sais : enseigner exige des choix réfléchis et assumés. Si ce n'est pas réfléchis ou pas assumé, ça merdouille dans la tête du prof et de l'élève.

En terminale, j'ai affiché des posters en classe où je donne une présentation axiomatique de $\mathbb{R}$ (à côté des axiomes algébriques, 'ai opté pour la borne supérieur, mais on pouvait aussi choisir les suites adjacentes ou encore...) et j'ai fait remarquer aux élèves sur quelques exemples que telle ou telle notion/résultat bien connu pouvait se démontrer à partir des éléments de cette liste (par exemple, un carré d'un réel est positif). Et j'y fait référence quand j'en ai besoin au cours d'une démonstration (compatibilité des opérations avec l'ordre etc.) .

En faisant ainsi, j'ai l'impression de sauver au maximum les meubles et de leur donner une idée la moins faussée possible de l'activité mathématique (qui ne se résume pas à dérouler les conséquences des axiomes). Il y a des résistances car un bon nombre d'élèves ont renoncé à ce jeu (on les a aidé à renoncer).

J'ai fait pareil pour la géométrie. Pour les probas, c'est plus galère (difficile sans notion d'application par exemple).

Bien cordialement,
Magnéthorax.

Non : la liberté pédagogique existe quand on se dit enseignant. Comme le dit le palmipède concernant la liberté de la presse: elle ne s'use que s'y on ne s'en sert pas.

Enseigner exige des choix clairs et assumés. Je ne pense pas qu'il faille plus blâmer le CSP que les enseignants qui se croient obligés de se soumettre à ce qu'ils imaginent être gravé dans le marbre. Et face à un inspecteur ou un éditeur (qui n'y connaît-ssent (;-)) rien), des choix ça s'argumente, une position, ça se défend.

On peut s'appuyer sur la notion intuitive d'aire tout en informant très clairement qu'il existe une théorie qui fonde mathématiquement la chose et on peut expliquer que les "propriétés" (d'additivité par exemple) sont en réalité des axiomes qui fondent cette théorie.

Ce qu'il faut éviter dans une démonstration niveau collège/lycée, c'est le mélange des genres intuitif/formel. Il faut réserver ça à d'autres moments du cours.

Non mais cette preuve est une vaste blague....Les élèves en terminale ne savent pas ce qu'est une fonction continue et encore moins dérivable (confusions entre fonction définie, continue et dérivable). On suppose de plus f "croissante" : ce qui n'apparaît même pas dans les hypothèses de l'énoncé Oo
Ca n'a pas d'intérêt de faire de la pseudo théorie...
Autant admettre la construction de l'intégrale (De Riemann avec les fonctions continues) et d'essayer par la suite de calculer des "aires" (approche intuitive) avec la méthodes des rectangles ou des trapèzes (avec des estimations de l'erreur et simulations numériques à la clé!)....

Moi j'ai rien contre intégrale = aire sous la courbe, mais qu'on ne vienne pas dire ensuite que l'aire sous la courbe est définie comme l'intégrale ! Il ne faut pas prendre les lycéens que pour des idiots, ce genre de tour de passe passe fait passer les maths pour des sciences occultes accessibles seulement aux initiés.

Par ailleurs, avec la bonne démonstration (celle-ci est effectivement une grosse blague), l'hypothèse de signe ne simplifie rien, démontrer le cas général n'est pas plus compliqué, c'est même une démonstration assez simple et courte.

"À toute partie du plan" c'est ambitieux :-P

Qu'il y ait une partie intuitive, non axiomatisé, c'est une chose, qu'il vaut d'ailleurs mieux éviter en disant précisément ce qu'on admet, mais arrêter l'arnaque des définitions circulaires c'est quand même un gros minimum.

J'ai l'impression que cette démonstration utilise les résultats suivants :

Existence de l'intégrale d'une continue sur un segment
Chasles
Croissance de l'intégrale $\int f \le \int g$ si $f\le g$ et $a \le b$
Intégrale d'une constante sur un segment.

Peut-être que je ne comprends encore pas le débat, mais je ne trouve pas ça délirant du tout.

Le seul problème dans cette histoire, c'est l'hypothèse $f \ge 0$, dans l'énoncé du théorème (mais voir théorie plus bas)

L'hypothèse $f$ croissante me semble bien pratique.

Pour ma part, je me serais contenté d'exposer l'encadrement du taux d'accroissement
$\frac{1}{h} \cdot (F(x+h) - F(x))$ seulement pour le cas $h > 0$.

J'imagine que c'est dans la section "intégrale ($f\ge0$) comme une aire", et qu'ensuite il y a une section de généralisation où on parle rapidement des aires orientées, et surtout de l'expression avec des primitives.

sky : alors "à certaines parties du plan, dont les rectangles et les aires sous les courbes de fonctions continues".

Concernant les restrictions (positive et croissante), ça se défend comme le dit dom : le rôle jouée par la positivité et la monotonie dans la théorie de la mesure n'est pas négligeable (:P)

Pour en faire quoi ?

Les ensembles quarrables, si j'ai bien compris, on peut se les carrer...X:-(

Cela éviterait de tourner en rond à propos de l'aire, mais cela ne m'a jamais semblé pertinent en TS ...

Je ne comprends pas ce blocage : pourquoi définir la notion d'aire serait-il indispensable ? On vous a défini les entiers naturels à l'école, vous ?

Je pense même que cette approche n'est pas bancale.

Ce qui est bancal, souvent, c'est la manière avec laquelle elle est menée. Encore une fois, on ne peut pas critiquer l'approche proposée par le programme juste parce que celle-ci est mal gérée par certains collègues. Une critique légitime pour fait de circularité dans un manuel ne suffit pas à la disqualifier.

Ou alors il faudrait démontrer le fait que cette approche contient en elle-même un problème suffisamment insurmontable pour qu'aucun prof ne puisse en donner une présentation mathématiquement satisfaisante.

:-?

@gb
Non, on ne définit pas ce qu'est la longueur non plus.
Ni même segment, droite...

On pourrait éventuellement admettre "longueur" et "chemin entre deux points" et définir le segment comme "chemin le plus court".
Hum...je n'ai pas trouvé mieux.

Oui, oui, assez d'accord.
Ne pas donner de définition de longueur ni d'aire me va bien aussi, dans le secondaire.

Tant que l'on n'a pas $\mathbb R$, si je ne me fourvoie pas, ce n'est pas aisé.
Non ?

Edit : comme cela a été dit plus haut, on ne définit pas $\mathbb N$ non plus. Et tant mieux !

Une dernière chose : l'hypothèse restrictive de monotonie sert ici à palier le fait qu'on ne dispose pas du théorème qui dit qu'une fonction continue sur un segment est bornée. Si on veut pousser le bouchon, on pourra dira dire que les fonctions envisagées sont C^1 donc différences de fonctions monotones car à variations bornées sur les segments (:P)

Hello,

je ne sais pas si, à la lecture de ce fil, on peut affirmer que les professeurs s'étonnent qu'il faille justifier.

Hello,

d'accord, je comprends. Après, tu sais bien qu'ils ont pas le même public, pas les mêmes objectifs, pas le même volume horaire, pas le même cursus (probablement) pour ce qui est des profs (et donc pas forcément le même rapport à la matière qu'ils enseignent ou qu'ils essaient d'enseigner : no offense). Si la matière enseignée porte le même nom, on ne peut pas oublier que les conditions de son enseignement n'ont rien à voir.

Une personne qui a été dans un lycée lambada puis en prépa a certainement connu "tournant de la rigueur", un peu comme les Français en 1983 qui pourtant se voyaient beaux en 1981.

Bien sûr. Et aussi le charleston, la macarena et le mosh pit en option sport.