continuité uniforme
Bonjour à tous
Voilà un corrigé qui va trop vite pour moi, l'énoncé est très simple, il faut prouver que la fonction racine carré est uniformément continue sur $R_+$ :
Ce que je ne comprends pas :
- pourquoi ce choix de ce focaliser d'abord sur l'intervalle $[0,2]$ ?
- comment arrive-t-on à prouver l'uniforme continuité sur cet intervalle là ? Que vaut le $\alpha$ ? Le $\epsilon$ ?
- par la suite, on passe sur $[1,\infty]$, pourquoi celui-ci ? Comment trouve-t-on que : $\sqrt{x}-\sqrt{y}\le\dfrac{x-y}{2}$ ?
Merci.
Voilà un corrigé qui va trop vite pour moi, l'énoncé est très simple, il faut prouver que la fonction racine carré est uniformément continue sur $R_+$ :
Ce que je ne comprends pas :
- pourquoi ce choix de ce focaliser d'abord sur l'intervalle $[0,2]$ ?
- comment arrive-t-on à prouver l'uniforme continuité sur cet intervalle là ? Que vaut le $\alpha$ ? Le $\epsilon$ ?
- par la suite, on passe sur $[1,\infty]$, pourquoi celui-ci ? Comment trouve-t-on que : $\sqrt{x}-\sqrt{y}\le\dfrac{x-y}{2}$ ?
Merci.
Réponses
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Bonjour,
Je trouve cette démonstration inutilement compliquée et peu instructive.
Calculons plutôt le module de continuité : la plus petite fonction $\omega$ telle que $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \omega(|x-y|)$.
Soit $\delta > 0$. On vérifie que la fonction $t \mapsto \sqrt{t+\delta} - \sqrt{t}$ est décroissante.
Ainsi, pour $t \ge 0$, on a : $\sqrt{t+\delta} - \sqrt{t} \le \sqrt{\delta}$.
En particulier : $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}$.
La fonction $\sqrt{\bullet}$ est donc bien uniformément continue.
Pour répondre à la question posée
L'idée, c'est que $\sqrt{\bullet}$ est une fonction $\frac{1}{2\sqrt{A}}$-lipschitzienne sur $[A;+\infty[$, donc uniformément continue sur cet intervalle.
En revanche, elle n'est pas lipschitzienne au voisinage de 0.
Mais, par Heine-Cantor, elle est uniformément continue sur tout segment.
Il s'agit donc de recoller les deux continuités uniformes : au voisinage de 0 et au voisinage de $+\infty$.
C'est fait en faisant se superposer les intervalles $[0;A+1]$ et $[A;+\infty[$, pour manipuler les deux correspondances $\epsilon \to \delta$ en même temps. -
Bonjour,
On utilise deux résultats :
1. Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
2. Une fonction dérivable à dérivée bornée est lipschitzienne.
On en déduit s'uniforme continuité de la fonction racine carrée sur tout intervalle de la forme \([a,+\infty[\) avec : \(a>0\).
On ne peut pas aller plus loin parce que la fonction racine carrée n'est pas lipschitzienne sur les voisinages de 0.
Le corrigé ne donne effectivement pas l'argument principal : sur les segments \([0,b]\) la fonction racine carrée est continue donc (th. de Heine) uniformément continue.
Enfin, pour conclure en déduisant l'uniforme continuité sur \([0,+\infty[\) à partir de la propriété sur \([0,b]\) et \([a,+\infty[\), il est utile que ces intervalles se chevauchent, c'est pourquoi l'énoncé prend \([0,2]\) et \([1,+\infty[\), mais d'autres choix sont bien évidemment possibles. -
marsup écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1616130,1616150#msg-1616150
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Merci pour ton aide.
Concernant ce concept de module de continuité, je le découvre.
Comment passes-tu de là : $\sqrt{t+\delta} - \sqrt{t} \le \sqrt{\delta}$. à là : $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}$ ?
Au moment de ta conclusion, que vaut la fonction $\omega$ ? -
gb écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1616130,1616156#msg-1616156
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Merci GB,
Concernant l'intervalle $[0,2]$, c'est donc ramené directement par théorème...
Et cette transition : $\sqrt{x}-\sqrt{y}\le\dfrac{x-y}{2}$ ? Comment on obtient cette inégalité ?
Dans cette expression : $\alpha=\min(1,\alpha_1,\alpha_2)$, que vient faire le chiffre 1 ? -
La formule se porterait beaucoup mieux avec des valeurs absolues.
On l'obtient par le théorème des accroissements finis ; il existe \(c\) compris entre \(x\) et \(y\), donc appartenant à \([1,+\infty[\) tel que :
\begin{align} f(x)-f(y) &= f'(c)(x-y) & f'(x) = \frac{1}{2\sqrt c} \leqslant \frac12 \end{align} -
Merci à nouveau.
Désolé pour les valeurs absolues, je débute en LATEX et je galère encore.
Une dernière pour la route rajoutée après coup.
Dans cette expression : $\alpha=\min(1,\alpha_1,\alpha_2)$, que vient faire le chiffre 1 ?
Merci. -
À la fin, on trouve : $\omega(\delta) = \inf(|\sqrt{t+\delta}-\sqrt{t}|)=\sqrt{\delta}$, d'où $\omega(|x-y|) = \sqrt{|x-y|}$.
Pour passer de l'un à l'autre, pour $x \ge y$, on pose $\delta = x - y$, et il vient : $0 \le \sqrt{x} - \sqrt{y} = \sqrt{y+\delta} - \sqrt{y} \le \sqrt{\delta} = \sqrt{x-y}$.
Autre approche de l'inégalité.
Pour $x \ge y$ on peut écrire : $\sqrt{x} \sqrt {y} \ge y$, donc : $x - 2\sqrt{x} \sqrt {y} + y \le x - y$.
En d'autres termes : $\big(\sqrt{x} - \sqrt{y}\big)^2 \le x - y$, d'où : $\sqrt{x} - \sqrt{y} \le \sqrt{x-y}$.
Même chose dans l'autre sens si $x \le y$. -
C'est pour utiliser le chevauchement des intervalles \([0,2]\) et \(1,+\infty[\) ; on force :
\[\lvert x-y\rvert \leqslant \alpha \leqslant 1\]
de telle sorte que \(x\) et \(y\) appartiennent tous deux soit à \([0,2]\), soit à \([1,+\infty[\), ce qui permet d'utiliser l'uniforme continuité via \(\alpha_1\) ou \(\alpha_2\). -
Merci, j'ai fini par comprendre c'est parce qu'on tient compte aussi de l'intervalle $[1,2]$ qui fait jonction.
Enfin, pas si trivial que cela ce corrigé...
Bonne soirée. -
Aparté : pour $1\le y\le x$, l'inégalité $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\le\dfrac{x-y}2$ s'obtient aussi sans dériver.
-
Il y a deux manières (au moins) d'aborder cet exercice : ou bien en appliquant une idée générale, ou bien en utilisant les particularités de la fonction racine.
L'idée générale est la suivante. Si une fonction $f$ est continue sur $[0, +\infty[ $ et uniformément continue sur $ [a, +\infty[ $, avec $a>0$, alors elle est uniformément continue sur $ [0, +\infty[$. Pour prouver ceci, il faut considérer deux intervalles empiétant l'un sur l'autre comme $ [0, a+1]$ et $ [a, +\infty[$. D'après le théorème de Heine, la fonction sera uniformément continue sur $[0, a+1]$ et le choix de $\alpha = \min (1, \alpha_1, \alpha_2)$ obligera les deux valeurs de la variable à être : ou bien toutes deux dans $ [0, a+1]$, ou bien toutes deux dans $ [a, +\infty[$, ce qu'on n'aurait pu avoir en prenant deux intervalles qui n'auraient pas empiété l'un sur l'autre.
Sinon, l'autre solution consiste à observer que si $0 \le x \le y$, alors $0 \le \sqrt y - \sqrt x \le \sqrt {y-x}$, comme il a été dit.
À chacun de choisir la méthode qui lui convient le mieux.
Pour la petite histoire, on trouve déjà cet exercice dans les « Exercices d'Analyse » du père Ramis, 1968, mordious, cinquante ans déjà !
Au fait, j'ai l'impression que si une fonction $f$ est uniformément continue sur un intervalle $I$ et sur un intervalle $J$, alors elle est uniformément continue sur $ D= I \cup J$, non ?
Extrait du programme actuel de MPSI : « La notion de continuité uniforme est introduite uniquement en vue de la construction de l’intégrale. L’étude systématique des fonctions uniformément continues est exclue. » Eh oui...
Bonne nuit.
Fr. Ch. -
Et si $I$ et $J$ sont tous deux des intervalles fermés ?
-
Personne ne songe à corriger le titre du fil ?
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Bonjour!
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