continuité uniforme

Bonjour,

Je trouve cette démonstration inutilement compliquée et peu instructive.

Calculons plutôt le module de continuité : la plus petite fonction $\omega$ telle que $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \omega(|x-y|)$.

Soit $\delta > 0$. On vérifie que la fonction $t \mapsto \sqrt{t+\delta} - \sqrt{t}$ est décroissante.

Ainsi, pour $t \ge 0$, on a : $\sqrt{t+\delta} - \sqrt{t} \le \sqrt{\delta}$.

En particulier : $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}$.

La fonction $\sqrt{\bullet}$ est donc bien uniformément continue.

Pour répondre à la question posée

L'idée, c'est que $\sqrt{\bullet}$ est une fonction $\frac{1}{2\sqrt{A}}$-lipschitzienne sur $[A;+\infty[$, donc uniformément continue sur cet intervalle.

En revanche, elle n'est pas lipschitzienne au voisinage de 0.

Mais, par Heine-Cantor, elle est uniformément continue sur tout segment.

Il s'agit donc de recoller les deux continuités uniformes : au voisinage de 0 et au voisinage de $+\infty$.

C'est fait en faisant se superposer les intervalles $[0;A+1]$ et $[A;+\infty[$, pour manipuler les deux correspondances $\epsilon \to \delta$ en même temps.

La formule se porterait beaucoup mieux avec des valeurs absolues.

On l'obtient par le théorème des accroissements finis ; il existe \(c\) compris entre \(x\) et \(y\), donc appartenant à \([1,+\infty[\) tel que :
\begin{align} f(x)-f(y) &= f'(c)(x-y) & f'(x) = \frac{1}{2\sqrt c} \leqslant \frac12 \end{align}

À la fin, on trouve : $\omega(\delta) = \inf(|\sqrt{t+\delta}-\sqrt{t}|)=\sqrt{\delta}$, d'où $\omega(|x-y|) = \sqrt{|x-y|}$.

Pour passer de l'un à l'autre, pour $x \ge y$, on pose $\delta = x - y$, et il vient : $0 \le \sqrt{x} - \sqrt{y} = \sqrt{y+\delta} - \sqrt{y} \le \sqrt{\delta} = \sqrt{x-y}$.

Autre approche de l'inégalité.

Pour $x \ge y$ on peut écrire : $\sqrt{x} \sqrt {y} \ge y$, donc : $x - 2\sqrt{x} \sqrt {y} + y \le x - y$.

En d'autres termes : $\big(\sqrt{x} - \sqrt{y}\big)^2 \le x - y$, d'où : $\sqrt{x} - \sqrt{y} \le \sqrt{x-y}$.

Même chose dans l'autre sens si $x \le y$.

Il y a deux manières (au moins) d'aborder cet exercice : ou bien en appliquant une idée générale, ou bien en utilisant les particularités de la fonction racine.

L'idée générale est la suivante. Si une fonction $f$ est continue sur $[0, +\infty[ $ et uniformément continue sur $ [a, +\infty[ $, avec $a>0$, alors elle est uniformément continue sur $ [0, +\infty[$. Pour prouver ceci, il faut considérer deux intervalles empiétant l'un sur l'autre comme $ [0, a+1]$ et $ [a, +\infty[$. D'après le théorème de Heine, la fonction sera uniformément continue sur $[0, a+1]$ et le choix de $\alpha = \min (1, \alpha_1, \alpha_2)$ obligera les deux valeurs de la variable à être : ou bien toutes deux dans $ [0, a+1]$, ou bien toutes deux dans $ [a, +\infty[$, ce qu'on n'aurait pu avoir en prenant deux intervalles qui n'auraient pas empiété l'un sur l'autre.

Sinon, l'autre solution consiste à observer que si $0 \le x \le y$, alors $0 \le \sqrt y - \sqrt x \le \sqrt {y-x}$, comme il a été dit.

À chacun de choisir la méthode qui lui convient le mieux.

Pour la petite histoire, on trouve déjà cet exercice dans les « Exercices d'Analyse » du père Ramis, 1968, mordious, cinquante ans déjà !

Au fait, j'ai l'impression que si une fonction $f$ est uniformément continue sur un intervalle $I$ et sur un intervalle $J$, alors elle est uniformément continue sur $ D= I \cup J$, non ?

Extrait du programme actuel de MPSI : « La notion de continuité uniforme est introduite uniquement en vue de la construction de l’intégrale. L’étude systématique des fonctions uniformément continues est exclue. » Eh oui...

Bonne nuit.
Fr. Ch.

Et si $I$ et $J$ sont tous deux des intervalles fermés ?