suites adjacentes

raboteux · February 2018

Bonsoir,

Gros blocage pas trop justifié sur la compréhension de ce corrigé (exercice 5), je n'arrive pas à comprendre la combine pour trouver S_2n+2-S_2n, je sens que ça doit être très simple mais la fatigue aidant, je bloque...
On fait la différence de deux sommes, les termes qui restent doivent être ceux qui ne s'annulent pas mais je ne retombe pas sur l'expression du corrigé

Merci.

Chalk · February 2018

$S_{2n+2} = S_{2n+1} + \dfrac{(-1)^{2n+2}}{2n+2} = S_{2n} + \dfrac{(-1)^{2n+1}}{2n+1} + \dfrac{(-1)^{2n+2}}{2n+2}$

Pour toute suite $u_n$, et $S_n = \sum_{i=0}^n u_i$, on a $S_n = S_{n-1}+u_n$. Démonstration triviale par associativité de la somme. $S_n = \sum_{i=0}^{n-1} u_i + u_n = S_{n-1} + u_n$.

raboteux · February 2018

Merci à toi.

Je crois que ce que ce que je ne comprends pas c'est la construction même de la suite S_2n+2.
On est d'accord,S_2n c'est la suite extraite corrrespondant aux termes pair de S_n.
Quand on étudie S_2n+2-S_2n, c'est pour déterminer le comportement de la suite S_2n(croissance ou décroissance). Donc c'est la même démarche que sur une suite simple, quand on étudie la différence U_n+1-U_n, U_n+1 est alors le terme qui suit U_n, pour un n incrémenté de 1. Donc pour faire le parallèle avec notre cas, 2n+2 c'est pour moi le terme qui suit 2n dans la suite extraite des termes pairs, dans ces conditions, je ne comprend pas la présence du terme (-1)²ⁿ⁺¹/(2n+1), puisque le dénominateur correspond à une déclinaison impaire de k...

gerard0 · February 2018

Bonjour Raboteux.

Écris sous forme développée $S_2, S_3$ et $S_4$. Tu verras que dans $S_4$ il y a le dernier terme de $S_3$, donc, comme tu dis " une déclinaison impaire de k"

Cordialement.

Math Coss · February 2018

Une version avec points de suspension (donc moins formelle que celle se Skyffer) :
\begin{align*}S_{2n}&=\frac{-1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{-1}{3}+\cdots+\frac{-1}{2n-1}+\frac{1}{2n}\\
S_{2n+2}&=\frac{-1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{-1}{3}+\cdots+\frac{-1}{2n-1}+\frac{1}{2n}+\frac{-1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}.
\end{align*}

raboteux · February 2018

Merci pour ton aide gerard.

Effectivement quand on écrit S₄ à partir de la formule de S_n, on a bien l'avant dernier terme qui est (-1)³/(3).
Cependant, ce qui me trouble c'est que je croyais que la formule itérative pour séparer les termes pairs était :
$$S_{2n}=\sum_{k=1}^{n/2} \frac{(-1)^{2k}}{2k}$$
Dans ces conditions là, au dénominateur on a que des termes pairs, et dans mon esprit, la formule de S_2n+2 aurait été obtenu en remplacant n par n+1, ce qui aurait donné :
$$S_{2n+2}=\sum_{k=1}^{(n+1)/2} \frac{(-1)^{2k}}{2k}$$
Mais en faisant la différence des 2 sommes, je ne retrouve pas le corrigé donc je sais que je fais une erreur de raisonnement quelques part...

raboteux · February 2018

Oui Math Coss, si S_2n comprend ces termes là, c'est tout à fait logique de trouver ce que dit le corrigé.
Le problème,confère mon message ci dessus, c'est que dans ma tête S_2n ne comprenait que la partie "termes pairs de S_n", je vois que je me fourvoyais...

Poirot · February 2018

C'est une erreur classique. Mais il faut se rappeler que l'on manipule des suites. Si je renomme $(u_n)_n$ ta suite des sommes partielles $(S_n)_n$, alors ce n'est pas parce que je regarde $(u_{2n})_n$ que je modifie la nature des éléments de cette suite ! Ici je regarde donc $\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^k}{k}$, je remplace $n$ par $2n$ dans la formule tout simplement !

raboteux · February 2018

Merci poirot,

Donc contrairement a ce que j'ai cru,S_2n n'a rien à voir avec la suite des termes pairs, c'est juste la même somme que celle de S_n mais calculée non pas jusqu'à n mais jusqu'à 2n c'est bien cela?,

GaBuZoMeu · February 2018

C'est ce que dit la définition de $S_n$, si on lit ce qui y est écrit, tout ce qui est écrit et rien que ce qui est écrit !

Dom · February 2018

Il s'agit bien de la sous-suite des termes d'indices pairs de $S$, cela dit en passant.
Et ce n'est pas du tout considérer les termes d'indices pairs de $u$.

raboteux · February 2018

Merci DOM, grâce à ton message bref et efficace j'ai ciblé la confusion que j'ai fait :
$$S_{n}=\sum_{}^{} U$$

En fait S_2n correspond bien aux termes pairs de S_n,seulement ca ne veut pas dire que chacun de ces termes ne contient pas des U_n impairs.
Autrement dit, j'ai confondu les propriétés de S et de U....

raboteux · February 2018

GaBuZoMeu ecrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1609956,1610122#msg-1610122
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Malheureusement, quand on s'est fait des nœuds au cerveau pendant des heures sur un sujet, la relecture à l'infini de l'énoncé de suffit plus à débloquer la compréhension, seul des mots bien choisis le peuvent et une intervention extérieure aide beaucoup.