suite extraite

raboteux · February 2018

Bonsoir à tous,

Petit blocage de compréhension d'un corrigé.
L'énoncé de l'exercice est : Si Un est une suite réelle non majorée, montrer qu'il existe une suite extraite tendant vers +infini.

Je bloque quand on introduit q : il est dit qu'il existe q tel que U_q>1.
Je comprends qu'il existe un q tel que Uq>1 car U étant non majorée, elle prend forcément des valeurs >1 mais je ne comprends pas pourquoi ce q serait forcément supérieur à p. Pourquoi n'aurait on pas U>1 pour des valeurs inférieures à p?

Merci.

Chalk · February 2018

Il suffit de choisir un $q$ tel que $u_q > \max(1,u_0,...,u_p)$. Et ton problème est alors résolu, car on aura forcément $q>p$ et bien sûr $u_q>1$.

gb · February 2018

Bonjour,

Il est possible que l'on ait $u_n>1$ avec $n<p$, mais ces termes ne nous intéressent pas, puisque le but est justement de justifier l'existence de $q$ avec $q>p$ pour progresser dans l'extraction.

On utilise la partie $\exists n>p$ du caractère non borné de la suite.

Chalk · February 2018

Je ne vois pas de quelle partie tu parles gb dans la négation de suite bornée qui donnerait un $\exists n>p$, sauf à l'appliquer à la suite non bornée $(u_n)_{n > p}$. Mon astuce permet de bypasser ce souci.

gb · February 2018

Le corrigé en pièce jointe explicite le caractère non borné de la suite sous la forme :
\[\forall M, \forall p\in\mathbb{N}, \exists n>p, \text{ tel que } n>p.\]
On fournit un $M$ et un $p$ et via la boîte noire magique $\exists n>p$, on récupère ce dont on a besoin.

Chalk · February 2018

Tu ne fais que réécrire le corrigé, en aucun cas tu ne prouves ce que tu avances.

La négation de suite majorée c'est : pour tout $M > 0$ il existe $N \in \mathbb N$, tel que pour $n > N$ on a $u_n > M$. En aucun cas n'apparaît un $\exists n>p$. Ma méthode permet d'y remédier.

Pour appliquer ta méthode, il faut montrer que $(u_n)_{n > p}$ est non majorée, et là ça marche. Mais si on veut démontrer cette trivialité, on réutilise en fait l'astuce que j'ai mise dans mon premier message.

Chalk · February 2018

Excuse moi gb, tu fais allusion à la première phrase du corrigé que je n'avais pas vu. Si on admet cela aucun souci. J'ai de mon côté donné un moyen de redémontrer cette caractérisation.

raboteux · February 2018

Merci gb, effectivement, je n'avais pas vu le "pour tout p" de la première phrase du corrigé et il fait toute la différence, la suite du corrigé devient alors logique.

Cependant et via cette phrase, l'auteur du corrigé caractérise une suite non majorée comme une suite qui peut prendre toutes les valeurs réelles possibles dans n'importe quel intervalle inclus dans l'ensemble N. En gros, il suffit dans chaque intervalle de choisir le bon p et on a la valeur de la suite qui va bien.

N'est ce pas une caractérisation qui va au delà des définitions officielles?
pour moi une suite non majorée sur N prend potentiellement toutes les valeurs possibles mais pas forcément pour plusieurs n différents sur N, pas facile expliquer par écrit....

Chalk · February 2018

En aucun cas c'est marqué qu'une suite non majorée peut prendre toutes les valeurs possibles.

Par ailleurs j'ai redémontré cette caractérisation dans mon premier message ...

raboteux · February 2018

Oui, je me suis mal exprimé, elle n'est majorée par aucune valeur, mais cela ne veut pas dire qu'elle prend toutes la valeurs possibles en effet...

suite extraite

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Bonjour!

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