Connexe, connexe par arcs

Bonjour à tous,
Dans les espaces vectoriels normés les ouverts connexes par arcs sont exactement les ouverts connexes .
Je cherche désespérément à démontrer ce jolie théorème dans un sens c'est normal ( conséquence du TVI ), mais l'autre qui est fausse de manière générale dans un espace topologique s'annonce vrai ici.

Voici ma piste si on prend un connexe ouvert U et une application continue f défini sur U à valeur dans un ensemble dénombrable alors avec la topologie discrète, cette application est constante.
j'aimerais bien faire un chemin entre deux éléments de U et le composé avec f mais comment savoir si celui si est bien défini..

Je n'ai pas encore utilisé la norme qui est clairement indispensable sinon le théorème serait absurde.. cela ne me mène nulle part (inégalité triangulaire) etc.. une/des idées serait(ent) le bienvenue.

Merci d'avance, Pierre.

[Ici une indication dans C me suffira amplement..] :')