concours CCP DEUG 2009

Bonjour

Je n'ai pas de corrigé pour ce sujet… mais si tu précises sur quelles questions tu bloques ainsi que ce qui te gêne pour les résoudre, tu trouveras sur le forum des participants prêts à t'aider.

Exercice 3

Question 3 : as-tu suivi l'indication ? (Edit : réponse obsolète)

Question 4 : avec $f$ continue, ce résultat est connu (sais-tu le démontrer ?).
Mais ici, on ne suppose pas $f$ continue...alors qu'en penser... ?

Question 5 :
a) La fonction proposée est-elle continue ?
b) Dérivable ? Si oui quelle est sa dérivée (en tout point) ?
c) À dérivée continue ?

Exercice 1.

Q.3. La fonction est de la forme : \(f=\sqrt u\), donc sa dérivée est : \(f' = \dfrac{u'}{2\sqrt u}\) dont le signe est simplement celui de \(u'\) qui est relativement simple à étudier…

Q.4. et 5. Comme tu veux étudier le comportement de \(f\) au voisinage de \(+\infty\) ou \(-\infty\), tu pose : \(t=1/x\), de façon à pouvoir faire des DL avec \(t\) qui tend vers 0. Tu écris donc :
\[f(x) = \sqrt{\frac{x^3}{x-1}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{t^3}}{\frac{1}{t}-1}} = \sqrt{\frac{1}{t^2(1-t^2)}} = \sqrt{\frac{1}{t^2}} \, (1-t^2)^{-1/2}\]
et tu fais, à la manière accoutumée, un DL de \((1-t^2)^{-1/2}\).

Exercice 3.

Q.4. Essaie de voir ce qui se passe avec une fonction en escalier.

Q.5 La dérivée se calcule par les règles usuelles pour les valeurs non nulles de la variable.
La dérivée en 0 se calcule à partir de la définition.
Reste à montrer que cette dérivée est discontinue en 0. L'utilisation du théorème de la limite séquentielle permet de s'en sortir.

Oui.
Mais on peut prendre la fonction nulle et changer une seule valeur en un seul point.
C'est donc faisable avec l'intégrale de Riemann.

Remarque : je m'étonne cependant de l'expression "l'intégrale converge".
Même s'il s'agit d'une (double) limite, c'est assez peu usité dans ce contexte.
On dit parfois "l'intégrale existe" ou "$f$ est intégrable au sens de Riemann".
Le terme "converge" s'emploie plutôt pour les intégrales généralisées, pour ma part.